On computation of the Cassels-Tate pairing

Titelangaben

Shukla, Himanshu:
On computation of the Cassels-Tate pairing.
Bayreuth , 2025 . - 165 S.
( Dissertation, 2024 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Sei J die Jacobische Varietät einer glatten, projektiven und geometrisch irreduzibelen Kurve C/k. In dieser Arbeit berechnen wir die Cassels- Tate-Paarung für Selmergruppen verschiedener Isogenien auf Jacobischen Varietäten verschiedener Kurventypen. Das Hauptziel der Arbeit ist es, die Albanese-Albanese-Definition der Paarung zu verwenden, um einen Algorithmus zu erhalten. Wir beginnen mit der Berechnung der Cassels-Tate-Paarung auf S(2) (E/k) × S(2) (E/k), wobei E/k eine elliptische Kurve ist. Dies bie- tet zusätzlich einen alternativen Beweis dafür, dass die von Cassels definierte Paarung dieselbe wie die Cassels-Tate-Paarung ist. Als nächstes verallgemeinern wir unsere Methode zur Berechnung der Cassels-Tate-Paarung auf S(2) (J/k), wobei J die Jacobische Varietät einer hyperelliptischen Kurve ungeraden Grades ist. Außerdem geben wir einen Algorithmus an, der durch den elliptischen Kurvenfall inspiriert ist, unter der Bedingung, dass eine Menge ternärer quadratischer Formen eine globale Lösung hat. Wir verwenden dann diesen bedingten Algorithmus, um die Cassels-Tate-Paarung in verschiedenen Fällen, einschließlich der Geschlech- ter 3 und 4, zu berechnen. Außerdem berechnen wir die Cassels-Tate-Paarung auf (1 − ζl )– Selmergruppen, die Kurven der Form y 2 = xl + A entsprechen, und verwenden sie, um einige Beispiele zu berechnen. Zum Schluss diskutieren wir die Berechnung der Cassels-Tate-Paarung auf Selmergruppen der Richelot-Isogenie und (3, 3)–Isogenie (wenn der Kern iso- morph zu (Z/3Z)2 ist) auf Jacobischen Varietäten des Geschlechts 2. Wir beenden diese Arbeit mit einer Diskussion zur Berechnung der Paarung für den Fall des „True Descents” und einigen zukünftigen Problemen.

Abstract in weiterer Sprache

Let J be the Jacobian variety of a “nice” curve C/k. In this thesis we compute the Cassels-Tate pairing for Selmer groups of various isogenies on Jacobians of various types of curves. The main aim of the thesis is to use the Albanese-Albanese definition of the pairing to obtain an algorithm. We start with computing the Cassels-Tate pairing on S(2) (E/k)×S(2) (E/k), where E/k is an elliptic curve. Furthermore, this provides an alternative proof that the pair- ing defined by Cassels is the same as the Cassels-Tate pairing. Next, we generalize our method for computing the Cassels-Tate pairing to S(2) (J/k), where J is the Jacobian variety of an odd-degree hyperelliptic curve. Furthermore, we give a conditional algorithm (conditioned on if a set of ternary quadratic forms have a global solution) inspired by the elliptic curve case. We use our conditional al- gorithm to compute the Cassels-Tate pairing in various cases including genus 3 and 4. Apart from the above, we compute the Cassels-Tate pairing on (1 − ζl )-Selmer groups corresponding to the curves of the form y 2 = xl + A and use it compute some examples. At last we discuss the computation of the Cassels-Tate pairing on Selmer groups of Richelot isogenies and (3, 3)-isogenies (when the kernel is isomorphic to (Z/3Z)2 as a Galois module) on genus 2 Jacobians. We end this thesis with some discussion on computation of the pairing for the case of “True descents”, and some future problems.