Optimal Control Problems Governed by Nonlinear Partial Differential Equations and Inclusions

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Fischer, Julia:
Optimal Control Problems Governed by Nonlinear Partial Differential Equations and Inclusions.
Bayreuth , 2010
( Dissertation, 2010 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

The focus of this thesis lies on examining the solvability of optimal control problems constrained by nonlinear partial differential equations (PDE) and inclusions (PDI). There exist statements on the existence of solutions for optimal control problems with linear and semi-linear PDEs with monotone parts. The theory for non-monotone PDEs resp. the related optimal control problems is, to the author’s knowledge, incomplete regarding important issues. This concerns particularly the case of PDEs containing mappings, which only satisfy boundedness conditions on restricted sets. At first an optimal control problem is considered, which is characterized by a Laplace equation with Dirichlet boundary conditions and a nonlinear non-monotone Nemytskii operator. Under the decisive assumption of the existence of so called sub- and supersolutions for this differential equation and by introducing a truncation operator we can define an auxiliary problem which is characterized by a pseudomonotone operator. Thereby the solution theory for pseudomonotone operators of Brézis (1968) is applicable. Moreover, starting with the definitions of sub- und supersolution it can be shown, that every solution of the auxiliary problem is a solution of the original problem. The choice of a new optimal control problem which substitutes the original optimal control problem is again governed by the properties of the auxiliary operator. The equivalence of the auxiliary problem to the original problem and the existence of at least one solution can be shown. The technique of applying the Theorem of Lax-Milgram on a linearized problem can be adapted to the semi-linear non-monotone case. This procedure is already known from the theory of semi-linear monotone problems. For optimal control problems with quasi-linear differential equations, different methods are required. As in the semi-linear case, the property of pseudomonotonicity plays a key role in proving the existence of a solution of the quasi-linear PDE. In the proof of the existence of a solution for the optimal control problem other properties of the auxiliary operator are exploited. In the elliptic case operators which satisfy the S+ -property are important. In order to utilize this property, a transformation of the operator to some coercive auxiliary operator is necessary. For this reason a term is added, which penalizes the deviation from the admissible set of states. This term is characterized by a factor, which is derived explicitly in this work. The proof of the existence of a solution of the optimal control problem with parabolic equations is based on the definition of an auxiliary operator, coercivity and the S+ -property of operators. The set of solutions of the considered PDE is compact, but the number of solutions and the situation to each other is unknown. This leads to difficulties in deriving necessary optimality conditions. For this reason a direct approach to solve the optimal control problem with semi-linear PDEs is introduced. It is assumed, that the state constraints coincide with the sub- and the supersolution of the PDE with the upper and lower boundary of the control variable. Using an auxiliary operator, this assumption allows the formulation of an equivalent optimal control problem without pointwise state constraints. Through semi-discretization we can define a family of optimal control problems on a finite dimensional state-space. Existence of a subsequence of solutions of these optimal control problems which converges to a solution of the original problem is shown. Another important class of optimal control problems include differential inclusions which are described by multivalued operators. Quasi-linear elliptic inclusions are examined under global as well as local boundedness conditions. Under the assumption of global boundedness the properties of pseudomonotonicity and coercivity for a multivalued auxiliary operator are proven. The existence of at least one solution for the original inclusion follows from the application of a result from Hu and Papageorgiou (1997) on the auxiliary problem. The existence of at least one solution of the optimal control problem is proven by exploiting the coercivity of the multivalued auxiliary operator and the S+ -property of the non-multivalued part of this mapping. In the case of multivalued mappings of Clarke’s gradient type, the existence of at least one solution of the optimal control problem can be shown under local boundedness conditions. Elliptic as well as parabolic quasi-linear inclusions are considered. The proof is again based on coercivity and the S+ -property of the related auxiliary operators and the embedding properties of the spaces.

Abstract in weiterer Sprache

Gegenstand dieser Arbeit sind Untersuchungen zur Lösbarkeit von Optimalsteuerungsproblemen, welche durch nichtlineare partielle Differentialgleichungen (PDG) und Inklusionen (PDI) restringiert sind. Die Berücksichtigung nichtlinearer Terme spielt dabei die zentrale Rolle. Während für lineare und semilineare PDGs mit monotonen Anteilen Aussagen über die Existenz von Lösungen der zugehörigen Optimalsteuerungsprobleme bekannt sind, ist, nach Kenntnis der Autorin, die Theorie für nichtmonotone PDGs bzw. deren Optimalsteuerungsprobleme für wichtige Fragestellungen unvollständig. Dies betrifft insbesondere den Fall von PDGs, welche Abbildungen enthalten, die nur auf einem begrenzten Bereich Beschränktheitsbedingungen erfüllen. Zunächst wird ein Optimalsteuerungsproblem betrachtet, welches durch eine Laplacegleichung mit Dirichlet-Randbedingung charakterisiert ist und einen nichtlinearen und möglicherweise nichtmonotonen Nemytskii-Operator enthält. Unter der maßgeblichen Annahme der Existenz von sogenannten Sub- und Superlösungen für diese Differentialgleichung kann mit Hilfe eines Abschneideoperators ein Hilfsproblem formuliert werden, welches durch einen pseudomonotonen Operator beschrieben wird. Das ermöglicht die direkte Anwendung der Lösungstheorie für pseudomonotone Operatoren von Brézis (1968). Zudem kann ausgehend von den Definitionen für Sub- und Superlösung gezeigt werden, dass jede Lösung des Hilfsproblems auch eine Lösung des ursprünglichen Problems darstellt. Auch bei der Wahl eines neuen Optimalsteuerungsproblems, welches das eigentliche Optimalsteuerungsproblem ersetzt, sind die Eigenschaften des Hilfsoperators maßgebend. In diesem Zusammenhang kann die Äquivalenz des Hilfsproblems zum ursprünglichen Problem und die Existenz mindestens einer Lösung nachgewiesen werden. Auf diesen semilinearen, aber möglicherweise nichtmonotonen Fall lässt sich die Technik - die Anwendung des Satzes von Lax-Milgram auf ein linearisiertes Problem - übertragen. Dieses Vorgehen ist bereits aus der Theorie semilinearer monotoner Probleme bekannt. Für Optimalsteuerungsprobleme mit quasilinearen Differentialgleichungen müssen andere Methoden gesucht werden. Während zum Nachweis der Existenz einer Lösung der quasilinearen PDG wie im semilinearen Fall die Pseudomonotonie-Eigenschaft eine zentrale Rolle einnimmt, werden im Existenzbeweis einer Lösung für das Optimalsteuerungsproblem andere Besonderheiten des Hilfsoperators ausgenutzt. Im elliptischen Fall kommt dabei den Operatoren, welche die S+ -Eigenschaft besitzen, eine große Bedeutung zu. Um diese Eigenschaft gezielt ausschöpfen zu können, wird zunächst eine Überführung des Operators in einen koerzitiven Hilfsoperator nötig. Aus diesem Grund wird ein Term addiert, der die Abweichung vom zulässigen Zustandsbereich bestraft. Dieser Term wird durch einen Faktor charakterisiert, welcher in dieser Arbeit hergeleitet und explizit angegeben wird. Der Nachweis der Existenz einer Lösung des Optimalsteuerungsproblems mit parabolischen Gleichungen basiert wie im elliptischen Fall auf der Konstruktion eines Hilfsoperators, der Koerzitivität und der S+ -Eigenschaft von Operatoren. Bei der Herleitung notwendiger Optimalitätsbedingungen liegt die Schwierigkeit darin, dass die Lösungsmenge der PDG zwar kompakt ist, die Anzahl und die Lage der Lösungen zueinander jedoch unbekannt ist. Aus diesem Grund wird zur numerischen Bestimmung einer Lösung des Optimalsteuerungsproblems mit semilinearen PDGs ein direkter Ansatz vorgestellt. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Zustandsschranken Sub- und Superlösung einer PDG mit unterer bzw. oberer Schranke für die Steuerung als rechter Seite darstellen. Unter Verwendung eines Hilfsoperators ermöglicht diese Annahme die Formulierung eines äquivalenten Optimalsteuerungsproblems ohne punktweise Zustandsbeschränkungen. Mittels Semi-Diskretisierung lässt sich eine Schar von Optimalsteuerungsproblemen über einem endlich dimensionalen Zustandsraum definieren. Es wird gezeigt, dass mindestens eine Teilfolge der Lösungen dieser Optimalsteuerungsprobleme existiert, die gegen eine Lösung des ursprünglichen Problems konvergiert. Eine weitere wichtige Klasse von Optimalsteuerungsproblemen enthält Differentialinklusionen, welche durch mengenwertige Operatoren beschrieben werden. Im Fall quasilinearer elliptischer Inklusionen werden dabei Probleme sowohl unter globalen als auch unter lokalen Beschränktheitsbedingungen betrachtet. Die Existenz mindestens einer Lösung der ursprünglichen Inklusion folgt aus der Anwendung eines Resultates von Hu and Papageorgiou (1997) auf ein Hilfsproblem. Der Beweis der Existenz mindestens einer Lösung des Optimalsteuerungsproblems erfolgt unter Ausnutzung der Koerzitivität des mengenwertigen Hilfsoperators und der S+ -Eigenschaft des nicht mengenwertigen Anteils dieser Abbildung.