The classification of isotrivially fibred surfaces with p_g=q=2, and topics on Beauville surfaces

Titelangaben

Penegini, Matteo:
The classification of isotrivially fibred surfaces with p_g=q=2, and topics on Beauville surfaces.
Bayreuth , 2010
( Dissertation, 2010 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

In our thesis we treat mainly two topics: the classification of isotrivially fibred surfaces with p_g=q=2, and the construction of new Beauville surfaces. An isotrivially fibred surface is a smooth projective surface endowed with a morphism onto a smooth curve such that all the smooth fibres are isomorphic to each other. The first goal of this thesis is to classify the isotrivially fibred surfaces with p_g=q=2 completing and extending a result by Zucconi. As an important byproduct, we provide new examples of minimal surfaces of general type with p_g=q=2 and K^2=4,5 and the first example with K^2=6. We say that a surface S is isogenous to a product of curves if S = (C times F )/G, for C and F smooth curves and G a finite group acting freely on C times F. Beauville surfaces are a special case of surfaces isogenous to a product. In this thesis we include part of a joint work with Shelly Garion, in which we construct new Beauville surfaces with group G either PSL(2,p^e), or A_n, or S_n, proving a conjecture of Bauer, Catanese and Grunewald. The proofs rely on probabilistic group theoretical results of Liebeck and Shalev, and on classical results of Macbeath. The thesis is divided into three chapters, which are subdivided in several sections. In the first chapter we treat the problem of the classification of isotrivially fibred surfaces with p_g=q=2. We start by recalling some basic facts and theorems about fibred surfaces and surfaces isogenous to a higher product of curves. Then we solve the classification problem using techniques coming from both geometry and combinatorial group theory. In the second chapter we deal with Beauville surfaces. First we give a group theoretical characterization of them. Then we enunciate a theorem of Liebeck and Shalev that we use for the construction of Beauville surfaces with group A_n or S_n. Afterwards we also study Beauville surfaces with group PSL(2,p^e). In the third chapter we give a description of the locus, in the moduli space of surfaces of general type, corresponding to the surfaces isogenous to a product with p_g=q=2 described in the first chapter. Indeed, by the results proven by Catanese, this locus is a union of connected components, whose number can be computed using a theorem of Bauer and Catanese. In the same way we are able to provide an asymptotic result about the number of connected components of the moduli space corresponding to certain families of Beauville surfaces with group either PSL(2,p^e), or A_n, or (mathbb{Z}/nmathbb{Z})^2 as p and n go to infinity.

Abstract in weiterer Sprache

In dieser Dissertation betrachten wir vor allem zwei Themen: die Klassifikation von isotrivialen Faserungen mit p_g=q=2, und das Studium von Beauville Flächen. Eine isotriviale Faserung ist eine glatte projektive Fläche, zusammen mit einem Morphismus zu einer glatten Kurve, so dass alle glatten Fasern isomorph zueinander sind. Das erste Ziel dieser Dissertation ist die Klassifikation aller isotrivialen Flächen mit p_g=q=2, die erreicht wird. Mit diesem Ergebnis ergänzen und erweitern wir eine Arbeit von Zucconi, und geben neue Beispiele von minimalen Flächen von allgemeinem Typ mit p_g=q=2 und K^2=4,5 und das erste Beispiel einer minimalen Fläche von allgemeinem Typ mit p_g=q=2 und K^2=6. Flächen isogen zu einem Produkt von Kurven sind Flächen der Form (C times F)/G, wobei C und F zwei glatte Kurven von Geschlecht größer gleich 2 sind, und G eine endliche Gruppe ist, die auf (C times F) frei wirkt. Spezielle Flächen isogen zu einem Produkt von Kurven sind Beauville Flächen, welche von Catanese eingeführt wurden. Diese sind starr, das heißt sie besitzen keine nicht-trivialen Deformation. In dieser Dissertation gliedern wir einen Teil eines gemeinsamen Arbeit mit Shelly Garion ein, in welcher wir neue Beauville Flächen mit Gruppe G=PSL(2,q), oder G=A_n, oder G=S_n konstruieren. Somit beweisen wir eine Vermutung von Bauer, Catanese und Grunewald. Im letzten Teil der Dissertation bestimmen wir den die Zusammenhangskomponenten des Modulraums der Fläche von allgemeinem Typ, die den gefundenen Flächen entsprechen. Der Inhalt dieser Dissertation ist in drei Kapitel gegliedert. In Kapitel 1 geben wir zunächst eine Einleitung über isotriviale Faserung und Flächen isogen zu einem Produkt von Kurven. In Paragraph 1.2 übersetzen wir das geometrische Problem der Klassifikation von Flächen isogen zu einem Produkt von Kurven zu einem algebraischen Problem der kombinatorischen Gruppentheorie. Danach in Paragraph 1.3 und 1.4 klassifizieren wir erstens alle Flächen isogen zu einem Produkt von Kurven mit p_g=q=2, und zuletzt die isotrivialen Faserung mit p_g=q=2. In Kapitel 2, nach einer kurzen Einleitung über Beauville Flächen, betrachten wir Beauville Flächen mit der alternierenden Gruppe, oder mit der symmetrischen Gruppe. Wichtig für die Konstruktion dieser Flächen ist ein Theorem von Liebeck und Shalev, das in Paragraph 2.1 präsentiert wird. In Paragraph 2.2 betrachten wir Beauville Flächen mit Gruppe PSL(2,q), und präsentieren dazu die Theorie von Macbeath über Untergruppen von PSL(2,q). Gegenstand des Kapitels 3 ist der Modulraum, der den gefundenen Flächen entspricht. In Paragraph 3.1 erinnern wir uns an die Definitionen von Abbildungsklassengruppe und Zopfgruppen. In Paragraph 3.2 erklären wir die notwendige Theorie über den Modulraum von Flächen isogen zu einem Produkt von Kurven und studieren den Modulraum, der den Flächen, die in Kapitel 1 gegeben wurden, entspricht. In Paragraph 3.3 berechnen wir die Fundamentalgruppen der isotrivialen Flächen mit p_g=q=2. In Paragraph 3.4 studieren wir die Modulräume, die einigen Familien von Beauville Flächen entsprechen. Als letztes studieren wir in Paragraph 3.5 Beauville Flächen mit abelscher Gruppe, und erweitern einige Ergebnisse auf Flächen isogen zu einem Produkt von Kurven und mit Irregularität q=0.