Klassifikation gewisser Darstellungen halbeinfacher Liealgebren

Titelangaben

Güner, Ridvan:
Klassifikation gewisser Darstellungen halbeinfacher Liealgebren.
Bayreuth , 2011
( Dissertation, 2011 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Zusammenfassung Die Arbeit behandelt folgende Fragen aus der Darstellungs- und Invariantentheorie halbeinfacher Liealgebren: Gegeben eine halbeinfache (meist: eine einfache) komplexe endlich dimensionale Liealgebra L . Betrachtet wird das Monoid M = M(L) der Äquivalenzklassen der endlich dimensionalen irreduziblen komplexen Darstellungen von L . M wird identifiziert mit dem Gitter der entsprechenden höchsten Gewichte (bezüglich einer ausgewählten Cartanalgebra von L und einer ausgewählten Basis der zugehörigen Wurzeln). Diese Identifizierung liefert die Monoidstruktur von M . Zu einer Darstellung pi von L kann man die symmetrische Algebra von pi betrachten (als unendlich dimensionale Darstellung, welche die symmetrischen Potenzen von pi als endlich dimensionale direkte Summanden enthält.) Ein höchstes Gewicht von L , das als höchstes Gewicht einer irreduziblen Komponente in einer n-ten symmetrischen Potenz von pi auftritt, sei gutes dominantes Gewicht genannt. Die Menge aller guten dominanten Gewichte bildet ein Untermonoid M(pi) des Monoids M . Solch ein M(pi) besitzt einen natürlich definierten Rang r(pi) , der größer-gleich 1 und kleiner-gleich r ist. (S. Seite 8 der Arbeit in der Einleitung.) Hier ist r der Rang von L , d.h. die Dimension einer Cartanunteralgebra von L . Nun: Eine Darstellung pi von L sei gut genannt, wenn r(pi) kleiner als r ist, und schlecht, wenn r(pi) gleich r ist. In den Paragraphen 4 und 5 der Arbeit werden dann - explizit als L-Darstellungen - die n-ten symmetrischen Potenzen der guten Darstellungen pi beschrieben. Im ersten Paragraphen der Arbeit wird nachgewiesen, dass Darstellungen bis auf wenige Ausnahmen schlecht sind, und es werden Listen von schlechten Darstellungen verifiziert. Letztlich werden die Typen der einfachen Liealgebren - die vier klassischen Reihen und die fünf Ausnahmealgebren - einzeln und individuell abgehandelt. In diesem ersten Paragraphen der Arbeit werden, wie auch später, entscheidend explizite Ausreduzierungen von symmetrischen Potenzen von Darstellungen benutzt, die in ausführlichen Listen zusammengestellt sind, s. Liste 1 und Liste 2 am Ende der Arbeit. (Die Berechnungen wurden mit dem Lie-Berechnungspaket aus [van Leeuwen] gemacht. In Einzelfällen werden auch explizite Ausreduzierungssätze benutzt, weil versucht wird, bei den Beweisen Argumente aus der Darstellungstheorie zu bevorzugen. Gemäß dem ersten Paragraphen sind für die einzelnen Typen einfacher Liealgebren fast alle irreduziblen Darstellungen schlecht. Bei jedem Typ bleibt nur eine kurze Liste von möglicherweise guten Darstellungen übrig. In Paragraph 2 werden nun die Darstellungen in diesen Restlisten als tatsächlich gut nachgewiesen. Paragraph 3 gibt eine Zusammenfassung der guten Darstellung unter einem anderen Gesichtspunkt: Die guten Darstellungen sind geordnet nach ihrem Rang (und nicht nach dem Isomorphietyp der Liealgebra ). In den Paragraphen 4 und 5 wird - für alle guten irreduziblen Darstellungen pi - die genaue Struktur (als vollständig reduzible Darstellung) der symmetrischen Potenzen von pi bestimmt. Benutzt wird dabei auch detailliertere Invariantentheorie und die Kenntnis von Hauptisotropiegruppen bei Darstellungsräumen.

Abstract in weiterer Sprache

Abstract The paper is on representation theory and invariant theory of semisimple Lie algebras. To be more precise: Given a semisimple (mostly: a simple) complex finite dimensional Lie algebra L . Consider the monoid M = M(L) of equivalence classes of the finite dimensional irreducible complex representations of L . M is identified with the lattice of the corresponding highest weights. (This delivers the monoid structure of M .) For pi in M one considers the symmetric algebra S(pi) (here pi and S(pi) are regarded as representations). The elements of M occuring in S(pi) - i.e. those which are the heighest weight of an irreducible component of some nth symmetric power of pi - form a sub-semigroup M(pi) of M . Such a M(pi) has a naturally defined rank r(pi) such that r(pi) is at least 1 and at most r . Here r is the usual rank of L , i.e. the dimension of a Cartan algebra of L . The paper gives a classification, for all simple L, of all the pi in M whose r(pi) are less then r . (Such a pi is called a good pi .) The result is a succint and relativly short list of highest weights pi, see Satz 2.1 in §2 and Satz 3.1 in §3 . The paragraphs 4 and 5 explicitly study the invariant theoretical properties of S(pi) and the detailed decomposition of the nth symmetric powers of pi as completely reducible L-modules. §4 determines and lists the multiplicity of the 0-representation of L in the nth symmetric powers of pi . In §5 , after having determined some fine structures of algebraic properties of S(pi) , the decomposition of the nth symmetric powers into simple L-modules is given by concrete formulas. The arguments essentially rely on representation theory. In order to succeed in this way we use, among other things, some explicit branching lists ( see Liste 1 and Liste 2 ) and some detailed branching and reduction devices (see e.g. Whippman, Sundaram, Littleman).