On the Classification of Rigid Three-Dimensional Torus Quotients with Canonical Singularities

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Kotonski, Julia:
On the Classification of Rigid Three-Dimensional Torus Quotients with Canonical Singularities.
Bayreuth , 2025 . - VIII, 134 S.
( Dissertation, 2025 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Since the beginning of the 20th century, quotients of complex tori by groups acting freely, also known as generalized hyperelliptic manifolds, have been studied extensively. Demleitner and Gleissner observed in their work that actions on complex tori that are rigid and free are only possible in dimension at least 4. However, by allowing isolated canonical singularities, rigid quotients in dimension 3 do also occur. A notable example is Beauville's construction X_{3,3}=E^3/<zeta_3*id>, where E=C/Z[zeta_3] is Fermat's elliptic curve. Despite some previous work on this topic, a complete classification has not yet been established. This thesis focuses on studying rigid quotients of complex tori with isolated canonical singularities in dimension 3. More precisely, we provide a classification of all finite groups G that admit a holomorphic, faithful, and translation-free action with isolated fixed points on a three-dimensional complex torus T such that the quotient X=T/G is rigid and has canonical singularities. Moreover, we classify the corresponding quotients up to biholomorphism and homeomorphism, and we construct crepant terminalizations and resolutions of the singular quotients that preserve the rigidity, yielding rigid smooth manifolds. In joint work with Christian Gleissner, we show that any admissible group G is isomorphic to one of the following: Z/3, Z/7, Z/9, Z/14, (Z/3)^2, (Z/3)^3, He(3)=(Z/3)^2\rtimes Z/3, or Z/9\rtimes Z/3. Furthermore, we provide a fine classification of the quotients: They form 21 biholomorphism classes and 15 homeomorphism classes. For each class, we give an explicit description of the torus and the action. Using methods from toric geometry, we construct crepant terminalizations and resolutions of singularities as required above. For the classification of the groups, we first determine the possible singularities and then apply the orbifold Riemann-Roch formula and methods from group and representation theory. To achieve a fine classification of the quotients, we rely extensively on the observation that the orbifold fundamental group of a torus quotient is a crystallographic group, allowing us to use Bieberbach's structure theorems and their geometric consequences. We adapt the classification framework of Demleitner-Gleissner and Halenda-Lutowski to the singular case. During the investigation of possible linear parts of affine linear homeomorphisms between quotients, we encountered a homomorphism from a finite group to the group of semi-projective transformations of a finite-dimensional vector space. Such a map is referred to as a semi-projective representation. We study them in the last chapter of the thesis and extend Schur's concept of a representation group for projective representations to the semi-projective case, assuming the field to be algebraically closed. This work was carried out in collaboration with Massimiliano Alessandro and Christian Gleissner.

Abstract in weiterer Sprache

Seit Beginn des 20. Jahrhunderts werden Quotienten komplexer Tori nach freien Gruppenwirkungen, welche auch als verallgemeinerte hyperelliptische Mannigfaltigkeiten bekannt sind, ausführlich untersucht. Demleitner und Gleissner bewiesen, dass Wirkungen auf komplexen Tori, die starr und frei sind, erst ab Dimension 4 möglich sind. Erlaubt man jedoch isolierte kanonische Singularitäten, so treten starre Quotienten bereits in Dimension 3 auf. Ein Beispiel dafür ist Beauvilles Konstruktion X_{3,3}=E^3/<zeta_3*id>, wobei E=C/Z[zeta_3] Fermats elliptische Kurve bezeichnet. Auch wenn es einige frühere Arbeiten zu diesem Thema gibt, liegt bislang keine vollständige Klassifikation vor. Diese Arbeit konzentriert sich auf die Untersuchung starrer Quotienten von komplexen Tori mit isolierten kanonischen Singularitäten in Dimension 3. Genauer gesagt klassifizieren wir alle endlichen Gruppen G, die eine holomorphe, treue und translationsfreie Wirkung mit isolierten Fixpunkten auf einem dreidimensionalen komplexen Torus T erlauben mit der Eigenschaft, dass der Quotient X=T/G starr ist und kanonische Singularitäten hat. Darüber hinaus klassifizieren wir die Quotienten bis auf Biholomorphie und Homöomorphie und konstruieren krepante Terminalisierungen sowie Auflösungen der singulären Quotienten, die die Starrheit erhalten und zu starren glatten Mannigfaltigkeiten führen. In Zusammenarbeit mit Christian Gleissner zeigen wir, dass eine solche Gruppe G isomorph zu einer der folgenden Gruppen ist: Z/3, Z/7, Z/9, Z/14, (Z/3)^2, (Z/3)^3, He(3)=(Z/3)^2\rtimes Z/3 oder Z/9\rtimes Z/3. Außerdem klassifizieren wir die zugehörigen Quotienten vollständig: Sie bilden 21 Biholomorphie- und 15 Homöomorphieklassen. Für jede Klasse geben wir eine konkrete Beschreibung des Torus und der Wirkung an. Mithilfe von Methoden der torischen Geometrie konstruieren wir krepante Terminalisierungen sowie Auflösungen von Singularitäten mit den gewünschten Eigenschaften. Für die Klassifikation der Gruppen bestimmen wir zunächst die möglichen Singularitäten und wenden dann die Orbifold-Riemann-Roch-Formel sowie Methoden aus der Gruppen- und Darstellungstheorie an. Um die feine Klassifikation der Quotienten zu erreichen, nutzen wir die Tatsache, dass die Orbifold-Fundamentalgruppe eine kristallographische Gruppe ist, was uns erlaubt, die Struktursätze von Bieberbach und deren geometrische Konsequenzen anzuwenden. Dabei adaptieren wir das von Demleitner-Gleissner und Halenda-Lutowski entwickelte Konzept zur Klassifikation auf den singulären Fall. Im Zuge der Bestimmung möglicher Linearteile von affin-linearen Homöomorphismen zwischen Quotienten stießen wir auf einen Homomorphismus von einer endlichen Gruppe in die Gruppe semi-projektiver Transformationen eines endlich-dimensionalen Vektorraums. Solche Abbildungen nennt man semi-projektive Darstellungen. Diese werden im letzten Kapitel der Arbeit behandelt. Dort erweitern wir Schurs Konzept der Darstellungsgruppe von projektiven Darstellungen auf den semi-projektiven Fall, unter der Voraussetzung, dass der zugrunde liegende Körper algebraisch abgeschlossen ist. Dieser Teil der Arbeit entstand in Zusammenarbeit mit Massimiliano Alessandro und Christian Gleissner.