Constructions and moduli of surfaces of general type and related topics

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Alessandro, Massimiliano:
Constructions and moduli of surfaces of general type and related topics.
Bayreuth , 2024 . - XV, 167 S.
( Dissertation, 2023 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

In this thesis we treat two topics: the construction of minimal complex surfaces of general type with p_g = q = 2, 3 and an extension of Schur's concept of a representation group for projective representations to the setting of semi-projective representations. These are the contents of the two articles [AC22] and [AGK23], which are two joint works: the former with Fabrizio Catanese, the latter with Christian Gleissner and Julia Kotonski. The first part of the thesis is devoted to the treatment of the construction method for minimal surfaces of general type with p_g = q developed together with Fabrizio Catanese in [AC22]. We give first a construction of minimal surfaces of general type with p_g = q = 2, K^2 = 5 and Albanese map of degree 3, describing a unirational irreducible connected component of the Gieseker moduli space, which we show to be the only one with these invariants fulfilling a mild technical assumption (Gorenstein Assumption, see Assumption 2.6) and whose general element S has Albanese surface Alb(S) containing no elliptic curve. We call it the component of CHPP surfaces, since it contains the family constructed by Chen and Hacon in [CH06], and coincides with the one constructed by Penegini and Polizzi in [PePo13a]. Similarly, we construct a unirational irreducible connected component of the moduli space of minimal surfaces of general type with p_g = q = 2, K^2= 6 and Albanese map of degree 4, which we call the component of PP4 surfaces since it coincides with the irreducible one constructed by Penegini and Polizzi in [PePo14]. Furthermore, we answer a question posed by Chen and Hacon [CH06] by constructing three families of surfaces with p_g = q whose Tschirnhaus module has a kernel realization with quotient a nontrivial homogeneous bundle. Two families have p_g = q = 3 (one of them is just a potential example since a computer script showing the existence is still missing), while the third one is a new family of surfaces with p_g = q = 2, K^2 = 6 and Albanese map of degree 3. The latter, whose existence is showed in [CS22], yields a new irreducible component of the Gieseker moduli space, which we call the component of AC3 surfaces. This is the first known component with these invariants, and moreover we show that it is unirational. We point out that we provide explicit and global equations for all the five families of surfaces we mentioned above. Finally, in the second and last part of the thesis we treat the content of the joint work [AGK23] with Christian Gleissner and Julia Kotonski. Here we study semi-projective representations, i.e., homomorphisms of finite groups to the group of semi-projective transformations of finite dimensional vector spaces over an arbitrary field K. The main tool we use is group cohomology, more precisely explicit computations involving cocycles. As our main result, we extend Schur's concept of projective representation groups [Sch04] to the semi-projective case under the assumption that K is algebraically closed. Furthermore, a computer algorithm is given: it produces, for a given finite group, all twisted representation groups under trivial or conjugation actions on the field of complex numbers. In order to stress the relevance of the theory, we discuss two important applications, where semi-projective representations occur naturally. The first one reviews Isaacs' treatment in Clifford theory for characters [Isa81], namely the extension problem of invariant characters (over arbitrary fields) defined on normal subgroups. The second one is our original algebro-geometric motivation and deals with the problem to find linear parts of homeomorphisms and biholomorphisms between complex torus quotients.

Abstract in weiterer Sprache

In dieser Arbeit werden zwei Themen behandelt: die Konstruktion minimaler komplexer Flächen allgemeinen Typs mit p_g = q = 2, 3 und eine Erweiterung des Schur'schen Konzepts einer Darstellungsgruppe für projektive Darstellungen auf den Fall semiprojektiver Darstellungen. Dies sind die Inhalte der beiden Artikel [AC22] und [AGK23], die zwei gemeinsame Arbeiten sind: die erste mit Fabrizio Catanese, die zweite mit Christian Gleißner und Julia Kotonski. Der erste Teil der Arbeit behandelt die gemeinsam mit Fabrizio Catanese in [AC22] entwickelte Konstruktionsmethode für minimale Flächen allgemeinen Typs mit p_g = q. Wir geben zunächst eine Konstruktion von minimalen Flächen allgemeinen Typs mit p_g = q = 2, K^2 = 5 und Albanese-Abbildung vom Grad 3 an. Diese beschreibt eine unirationale irreduzible zusammenhängende Komponente des Gieseker-Modulraums. Unter einer schwachen technischen Voraussetzung (Gorenstein Assumption, siehe Assumption 2.6) zeigen wir, dass diese Komponente durch diese Invarianten und die Tatsache, dass die Albanese-Fläche Alb(S) eines allgemeinen Elements S keine elliptische Kurve enthält, eindeutig bestimmt ist. Wir nennen sie die Komponente von CHPP-Flächen, da sie die von Chen und Hacon in [CH06] konstruierte Familie enthält und mit der von Penegini und Polizzi in [PePo13a] konstruierten Familie übereinstimmt. In ähnlicher Weise konstruieren wir eine unirationale irreduzible zusammenhängende Komponente des Modul-Raums minimaler Flächen allgemeinen Typs mit p_g = q = 2, K^2 = 6 und Albanese-Abbildung vom Grad 4, die wir die Komponente von PP4-Flächen nennen, da sie mit der von Penegini und Polizzi in [PePo14] konstruierten irreduziblen Komponente übereinstimmt. Außerdem beantworten wir eine Frage von Chen und Hacon [CH06], indem wir drei Familien von Flächen mit p_g = q konstruieren, deren Tschirnhaus-Modul eine Realisierung als Kern besitzt dessen Quotient ein nichttriviales homogenes Bündel ist. Zwei Familien haben p_g = q = 3 (eine davon ist nur ein potentielles Beispiel, da ein Computerskript, das die Existenz zeigt, noch fehlt), während die dritte eine neue Familie von Flächen mit p_g = q = 2, K^2 = 6 und Albanese-Abbildung vom Grad 3 ist. Letztere, deren Existenz in [CS22] gezeigt wird, führt zu einer neuen irreduziblen Komponente des Gieseker-Modulraums, die wir die Komponente von AC3-Flächen nennen. Es ist die erste bekannte Komponente mit diesen Invarianten und darüber hinaus zeigen wir, dass sie unirational ist. Wir weisen darauf hin, dass wir explizite und globale Gleichungen für alle fünf oben erwähnten Familien von Flächen angeben. Im zweiten und letzten Teil dieser Dissertation wird der Inhalt der gemeinsamen Arbeit [AGK23] mit Christian Gleißner und Julia Kotonski behandelt. Hier untersuchen wir semiprojektive Darstellungen, d.h. Homomorphismen endlicher Gruppen in die Gruppe der semiprojektiven Transformationen endlich dimensionaler Vektorräume über einem beliebigen Körper K. Das Hauptwerkzeug, das wir verwenden, ist die Gruppenkohomologie, genauer gesagt, explizite Berechnungen mit Kozyklen. Unser Hauptergebnis ist die Erweiterung des Schur'schen Konzepts der projektiven Darstellungsgruppen [Sch04] auf den semiprojektiven Fall unter der Annahme, dass K algebraisch geschlossen ist. Außerdem wird ein Algorithmus angegeben, mit dessen Hilfe für jede endliche Gruppe alle sogenannten "getwisteten Darstellungsgruppen" bezüglich der trivialen oder der Konjugationswirkung auf dem Körper der komplexen Zahlen bestimmt werden können. Um die Relevanz der Theorie zu unterstreichen, diskutieren wir zwei wichtige Anwendungen, in denen semiprojektive Darstellungen in natürlicher Art und Weise auftreten. In der ersten wird Isaacs' Anwendung in der Clifford-Theorie für Charaktere [Isa81] behandelt, nämlich das Erweiterungsproblem von invarianten Charakteren (über beliebigen Körpern), die auf normalen Untergruppen definiert sind. Die zweite Anwendung ist unsere ursprüngliche algebro-geometrische Motivation und befasst sich mit dem Problem, Linearteile von Homöomorphismen und Biholomorphismen zwischen komplexen Torusquotienten zu finden.