Die schwache Lösung des dritten Randwertproblems der statischen Elastizitätstheorie in $L^q$ für das Differentialgleichungssystem $\Delta\underline{u}+\lambda\nabla div\underline{u}=div\underline{\underline{f}}$ im beschränkten Gebiet und Außengebiet

Titelangaben

Gerlach, Alexander:
Die schwache Lösung des dritten Randwertproblems der statischen Elastizitätstheorie in $L^q$ für das Differentialgleichungssystem $\Delta\underline{u}+\lambda\nabla div\underline{u}=div\underline{\underline{f}}$ im beschränkten Gebiet und Außengebiet.
Bayreuth , 2006
( Dissertation, 2006 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

In dieser Arbeit wird die Lamégleichung $$\Delta\underline{u}+\lambda \nabla div\underline{u}=div \underline{\underline{f}}$$ mit den Randbedingungen (Wobei $T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\;j=1,...,n-1$ die Basis des Tangentialraumes von $\partial\Omega$ in $x$ und $\underline{N}$ die äußere Normale ist.) I) $$\left.\sum_{i,k=1}^n \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}= \left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$ und $$\left.<\underline{u},\underline{N}>\right|_{\partial\Omega}=0,$$ II) $$\left.\sum_{i,k=1}^n\left[ \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i+ \partial_k u_i T_k^{(j)} N_i\right]\right|_{\partial\Omega}=\left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$ und $$\left.<\underline{u},\underline{N}>\right|_{\partial\Omega}=0$$ im Rahmen der schwachen $L^q$-Theorie für beschränkte Gebiete und Außengebiete untersucht. Weiter wird die Existenz eines $\underline{u}\in \underline{Y}^{1,q}(\Omega)$ mit (Randbedingung I) $$<\nabla\underline{u},\nabla\underline{\Phi}>_\Omega+\lambda_1<div\underline{u},div\underline{\Phi}>_\Omega=\sum_{i,k=1}^n\underset{\Omega}{\int}f_{ik}\partial_i \Phi_k dx\text{ für alle }\underline{\Phi}\in\underline{Y}^{1,q'}(\Omega)$$ beziehungsweise ein $\underline{u}$ in einem passend gewähltem Teilraum $\underline{Z}^q(\Omega)\subset \underline{Y}^{1,q}(\Omega)$ mit (Randbedingung II) $$\frac{1}{2}<\epsilon(\underline{u}),\epsilon(\underline{\Phi})>_\Omega+\left(\lambda_2-1\right)<div\underline{u},div\underline{\Phi}>_\Omega=\sum_{i,k=1}^n\underset{\Omega}{\int}f_{ik}\partial_i \Phi_k dx\text{ für alle }\underline{\Phi}\in\underline{Z}^{q'}(\Omega).$$ gezeigt. Eine schwache Lösung, die regulär bis zum Rande angenommen wird, erfüllt dann die Randbedingungen I beziehungsweise II.

Abstract in weiterer Sprache

In this paper we consider the Lamé equation $$\Delta\underline{u}+\lambda \nabla div\underline{u}=div \underline{\underline{f}}$$ with the boundary conditions (Where $T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\;j=1,...,n-1$ is a basis of the tangential space of $\partial\Omega$ in $x$ and $\underline{N}$ is an outward unit normal.) I) $$\left.\sum_{i,k=1}^n \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}= \left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$ and $$\left.<\underline{u},\underline{N}>\right|_{\partial\Omega}=0,$$ II) $$\left.\sum_{i,k=1}^n\left[ \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i+ \partial_k u_i T_k^{(j)} N_i\right]\right|_{\partial\Omega}=\left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$ and $$\left.<\underline{u},\underline{N}>\right|_{\partial\Omega}=0$$ in bounded or exterior domains in the context of the weak $L^q$-theory. This thesis proofs the existence of an $\underline{u}\in \underline{Y}^{1,q}(\Omega)$ with (boundary condition I) $$<\nabla\underline{u},\nabla\underline{\Phi}>_\Omega+\lambda_1<div\underline{u},div\underline{\Phi}>_\Omega=\sum_{i,k=1}^n\underset{\Omega}{\int}f_{ik}\partial_i \Phi_k dx\text{ for all }\underline{\Phi}\in\underline{Y}^{1,q'}(\Omega)$$ or rather an $\underline{u}$ belonging to a suitable subspace $\underline{Z}^q(\Omega)\subset \underline{Y}^{1,q}(\Omega)$ such that (boundary condition II) $$\frac{1}{2}<\epsilon(\underline{u}),\epsilon(\underline{\Phi})>_\Omega+\left(\lambda_2-1\right)<div\underline{u},div\underline{\Phi}>_\Omega=\sum_{i,k=1}^n\underset{\Omega}{\int}f_{ik}\partial_i \Phi_k dx\text{ for all }\underline{\Phi}\in\underline{Z}^{q'}(\Omega).$$ Finally if the weak solution is supposed to be regular up to the boundary it is verified that it satisfies the boundary conditions I and II.