Gleichmäßige Konfidenzbänder für Erwartungswertfunktional und Kovarianzkern funktionaler Daten

Titelangaben

Reihl, Christoph:
Gleichmäßige Konfidenzbänder für Erwartungswertfunktional und Kovarianzkern funktionaler Daten.
2024 . - 228 S.
( Dissertation, 2024 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Die Arbeit befasst sich mit zwei Schätzern bzgl. diskreter Beobachtungen innerhalb eines funktionalen Regressionsmodells, wobei der funktionale Trend und die Autokovarianz einer Zufallsfunktion geschätzt werden sollen. Für die Schätzer wird asymptotische Erwartungstreue, asymptotische Normalität, sowie Konsistenz, jeweils im funktionalen Sinne nachgewiesen. Darauf aufbauend, werden gleichmäßige, oder auch simultane Konfidenzbänder konstruiert und zusätzlich eine (naive) Bootstrap-Methode vorgestellt - inklusive zugehörigem Beweis der fast sicheren Konsistenz, bedingt auf die Stichprobe. Weiterhin wird durch eine Simulation die Gültigkeit der Konfidenzbänder für die Autokovarianz mittels mehrerer Datensettings überprüft, sowohl für den normalen Fall, als auch für den Bootstrap. Bzgl. der Messpunkte werden zwei Fälle unterschieden: Synchrone Messpunkte innerhalb jeder Stichprobeneinheit, und asynchrone Messpunkte. Auch wenn die Beweisstrukturen von letzterem Fall auf ersterem aufbauen, gibt es doch wesentliche Unterschiede, weshalb die Beweise, wenn auch teilweise stark verkürzt, erneut vollzogen werden.

Abstract in weiterer Sprache

The work deals with two estimators regarding discrete observations within a functional regression model, where the functional trend and the autocovariance of a random function are supposed to be estimated. For the estimators, asymptotic unbiasedness, asymptotic normality and consistency will be established, everything within a functional point of view. Based on this, simultaneous confidence bands will be constructed and additionally a (naive) bootstrap version for these bands will be proposed - including a proof of consistency, conditionally on the random sample. Furthermore, the validity of the confidence bands for the autocovariance will be checked with a simulation, considering several data settings, both for the normal and the bootsrapped bands. There will be two cases, regarding the observation points: Synchronous points within every sample unit, and asynchronous points. Even if the proofs for the asynchronous case are pretty much based on the proofs for the synchronous case, there are some crucial differences, hence the proofs will be accomplished once again, however not that detailed.