Pulsating Galaxies

Titelangaben

Straub, Christopher:
Pulsating Galaxies.
2024 . - X, 310 S.
( Dissertation, 2024 , Universität Bayreuth, Bayreuther Graduiertenschule für Mathematik und Naturwissenschaften - BayNAT )

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Abstract

In this thesis we investigate the existence of pulsating solutions of the spherically symmetric gravitational Vlasov-Poisson system on a linear level. To this end, we linearise the system around compactly supported steady states, which we first introduce in detail at the beginning of the thesis. In order to explain different aspects of oscillations on the non-linear level - in particular, the pulsating behaviour, where the support of the solution changes periodically - we employ three different linearisation methods. All of them lead to the same linear operator whose spectral properties determine the dynamics on the linear level. The analysis of this operator forms the main part of this thesis. Firstly, we analyse the functional analytical properties of the operator and prove that it is self-adjoint if its domain of definition is chosen appropriately. Then we explicitly determine its essential spectrum. It is given by the radial particle periods within the underlying steady state, to which we devote a separate analysis in the appendix. On a linear level, oscillating solutions correspond to positive eigenvalues of the operator. We investigate their existence by developing an adaptation of the Birman-Schwinger principle from quantum mechanics for our situation. We combine this with a reduction method discovered by Mathur. Overall, this allows us to characterise the existence and number of positive eigenvalues below the essential spectrum of the original operator by spectral properties of a simpler operator. Using this characterisation, we can explain the linear oscillations around some stationary solutions. Afterwards, we consider the slightly modified setting of steady states surrounding a point mass. If the steady state is sufficiently small compared to the point mass, we show that perturbations are damped on a linear level. The main step towards this (non-quantitative) damping result is to exclude eigenvalues embedded in the essential spectrum of the operator. The absence of other eigenvalues can be ensured by applying the Birman-Schwinger-Mathur principle described above. To conclude, we discuss how the techniques developed here can be applied in related situations and conduct a comprehensive numerical analysis. In particular, we investigate the dynamics near the most commonly used steady states and show in which cases undamped oscillatory behaviour occurs at the linear level. Moreover, we numerically show that the actual non-linear effects can be accurately described by the analysis on the linear level performed here.

Abstract in weiterer Sprache

In dieser Abhandlung untersuchen wir die Existenz pulsierender Lösungen des sphärisch symmetrischen gravitativen Vlasov-Poisson-Systems auf linearer Ebene. Dafür linearisieren wir das System um stationäre Lösungen mit kompaktem Träger, die wir zu Beginn der Arbeit zunächst ausführlich einführen. Um verschiedene Aspekte von Oszillationen auf der nicht-linearen Ebene - insbesondere das pulsierende Verhalten, bei dem sich der Träger der Lösung periodisch bewegt - erklären zu können, verwenden wir zur Linearisierung drei verschiedene Verfahren. Alle führen auf denselben linearen Operator, dessen spektrale Eigenschaften die Dynamik auf der linearen Ebene bestimmen. Die Analyse dieses Operators bildet den Hauptteil dieser Abhandlung. Zuerst analysieren wir die funktionalanalytischen Eigenschaften des Operators und zeigen, dass er bei geeigneter Wahl seines Definitionsbereiches selbstadjungiert ist. Anschließend bestimmen wir sein wesentliches Spektrum explizit. Es ist gegeben durch die radialen Teilchenperioden in der zugrundeliegenden stationären Lösung, denen wir im Anhang eine gesonderte Analyse widmen. Auf linearer Ebene entsprechen oszillierende Lösungen positiven Eigenwerten des Operators. Wir untersuchen deren Existenz durch Entwicklung einer Adaption des Birman-Schwinger-Prinzips aus der Quantenmechanik für unsere Situation. Wir kombinieren dies mit einer von Mathur entdeckten Reduktionsmethode. Insgesamt können wir so die Existenz und Anzahl der positiven Eigenwerte unterhalb des wesentlichen Spektrums des ursprünglichen Operators durch spektrale Eigenschaften eines einfacheren Operators charakterisieren. Mittels dieser Charakterisierung können wir die linearen Oszillationen um einige stationäre Lösungen erklären. Im Anschluss betrachten wir die leicht modifizierte Situation von stationären Lösungen, welche eine Punktmasse umgeben. Wir zeigen, dass wenn die stationäre Lösung im Vergleich zur Punktmasse genügend klein ist, Störungen auf linearer Ebene gedämpft sind. Der Hauptschritt zu diesem (nichtquantitativen) Dämpfungsresultat besteht darin, im wesentlichen Spektrum eingebettete Eigenwerte des Operators auszuschließen. Die Abwesenheit anderer Eigenwerte kann durch Anwendung des oben beschriebenen Birman-Schwinger-Mathur-Prinzips sichergestellt werden. Abschließend diskutieren wir einerseits, wie die hier entwickelten Techniken in verwandten Situationen angewendet werden können, und führen andererseits eine umfassende numerische Analyse durch. Insbesondere untersuchen wir die Dynamik nahe der populärsten stationären Lösungen und zeigen auf, in welchen Fällen auf linearer Ebene ein ungedämpftes oszillierendes Verhalten auftritt. Darüber hinaus stellen wir numerisch fest, dass die tatsächlichen nicht-linearen Effekte durch die hier durchgeführte Analyse auf linearer Ebene genau beschrieben werden können.