Efficient numerical treamtent of the fractional Laplacian in three dimensions

Titelangaben

Feist, Bernd:
Efficient numerical treamtent of the fractional Laplacian in three dimensions.
Bayreuth , 2023 . - V, 135 S.
( Dissertation, 2023 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Partial differential equations play an important role in many applications. Therefore it is of enormous significance to provide algorithms and methods to solve them numerically in a reasonable time. One operator that has gained importance in recent years is the fractional Laplacian. The dissertation is dedicated to the goal of providing tools to handle finite element problems in three dimensions involving the fractional Laplacian in a numerically efficient way. The fractional Laplacian belongs to the class of elliptic operators and is, as the name suggests, closely related to the Laplace operator. The major difference between the two is that the fractional Laplacian is a non-local operator and this results in some fundamental differences between the properties of both. The most important difference for us is the stiffness matrix. This poses two enormous challenges from a numerical point of view. On the one hand, the stiffness matrix is densely populated in contrast to the Laplace operator and on the other hand the calculation of the entries can be very complex and expensive. The reason for this is that in the worst case the entries consist of a sum of five- and six-dimensional integrals, which are singular if the support of the linear basis functions overlap. Therefore, a main contribution of this work is to develop efficient quadrature and cubature formulas for the singular integrals, and another is to derive suitable approximation methods for the stiffness matrix. For the first part we adapt the Duffy transformation to the needs of the fractional Laplacian in three dimensions. A total of seven different singularity cases have to be investigated individually. In order to make the numerical integration efficient, the integration error is adapted to the error of the finite element solution. Thus, we develop new quadrature formulas for an efficient calculation of the entries. In addition, we also present efficient cubature formulas based on these error estimates, which are based on an adaptation of the Duffy transformation. For the second problem, we choose to use hierarchical matrices (H -matrices) and prove that this method is also efficient for the fractional Laplacian. H -matrices offer the advantage that the effort for constructing the approximation and performing the matrix-vector-multiplication is only quasi-linear instead of quadratic. Moreover, we also present a new, kernel-independent method to construct uniform H - and H^2 -matrix approximations for nonlocal operators. The presented method is based on an adaptation of the cross approximation. Finally, the efficiency of the methods and procedures presented here is tested by means of numerical examples.

Abstract in weiterer Sprache

Partielle Differentialgleichungen spielen in vielen Anwendungen eine wichtige Rolle. Deshalb ist es von enormer Bedeutung Algorithmen und Methoden bereitzustellen, um diese in annehmbarer Zeit numerisch zu lösen. Ein Operator, der in den letzten Jahren an Bedeutung gewonnen hat, ist der fraktionale Laplace Operator. Die vorliegende Dissertation ist dem Ziel gewidmet, Werkzeuge bereit zustellen, um finite Elemente Probleme im dreidimensionalen Raum, die den fraktionalen Laplace involvieren, numerisch effizient zu handhaben. Der fraktionale Laplace gehört zur Klasse der elliptischen Operatoren und ist, wie der Name vermuten lässt, eng mit dem Laplace Operator verwandt. Der gravierende Unterschied zwischen den beiden ist allerdings, dass der fraktionale Laplace ein nicht-lokaler Operator ist, wodurch sich teilweise fundamentale Unterschiede zwischen den Eigenschaften der beiden Operatoren ergeben. Der für uns wichtigste Unterschied ist die Steifigkeitsmatrix. Diese stellt uns aus numerischer Sicht vor zwei signifikante Probleme. Zum einem ist die Steifigkeitsmatrix im Unterschied zum Laplace Operator dicht besetzt und zum anderen kann sich die Berechnung der Einträge als höchst zeitaufwendig und komplex erweisen. Der Grund dafür ist, dass die Einträge im schlimmsten Fall aus einer Summe von fünf- und sechsdimensionalen Integralen bestehen, die auch noch singulär sind, wenn sich die Träger der linearen Basisfunktionen überschneiden. Der Hauptteil der Arbeit besteht darin, zum einem effiziente Quadratur- und auch Kubaturformeln für die singulären Integrale zu entwickeln und zum anderen geeignete Approximationsmethoden für die Steifigkeitsmatrix herzuleiten. Für den ersten Teil haben wir die Duffy Transformation auf die Bedürfnisse des fraktionalen Laplaces im dreidimensionalen Raum adaptiert. Dazu müssen insgesamt sieben verschiedene Singularitätsfälle einzeln untersucht werden. Um die numerische Integration effizient zu gestalten, wird der Integrationsfehler an den Fehler der finite Elemente Lösung angepasst. Dadurch ergeben sich neue Quadraturformeln für eine effiziente Berechnung der Einträge. Zusätzlich stellen wir auf Basis dieser Fehlerabschätzungen auch effiziente Kubaturformel vor, die auf einer Anpassung der Duffy Transformation basieren. Für die zweite Problematik entscheiden wir uns für den Einsatz von hierarchischen Matrizen (H -Matrizen) und beweisen, dass diese Methode auch für den fraktionalen Laplace effizient einsetzbar ist. H -Matrizen bieten die Vorteile, dass der Aufwand für das Aufstellen der Approximation nur quasi-linear ist, ebenso wie der Aufwand für die Matrix-Vektor Multiplikation. Zusätzlich stellen wir auch eine neue, kern-unabhängige Methode vor, um uniforme H - und H^2 -Matrixapproximationen für nicht-lokale Operatoren zu konstruieren. Die vorgestellte Methode basiert auf einer Anpassung der Kreuzapproximation. Zum Abschluss wird die Effizienz der hier vorgestellten Methoden und Verfahren an Hand von numerischen Beispielen getestet.