Existence Results for Plasma Physics Models Containing a Fully Coupled Magnetic Field

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Seehafer, Martin:
Existence Results for Plasma Physics Models Containing a Fully Coupled Magnetic Field.
Bayreuth , 2009
( Dissertation, 2009 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

The present thesis concern is the initial value problem for three nonlinear systems of partial differential equations: the Vlasov-Darwin system, the Vlasov-Poisswell system and a version of the latter which is called the modified Vlasov-Poisswell system. These equations belong to kinetic theory, which has proved useful when describing large particle systems in different areas of physics such as kinetic theory of gases, the formation of stellar structures or plasma physics. In the present thesis equations originating in plasma physics are considered which describe the evolution of the time dependent density function f(t,x,v) (t - time, x – position, v - particle velocity) of a large ensemble of charged particles in the (x,v)-phase space influenced by the electromagnetic field created by the particles and when neglecting collisions. The focus of the investigation is on existence and uniqueness questions for solutions of the initial value problem, i.e., it is asked whether there exists a solution f of the system under consideration such that f(t=0)=f0 where f0 is a prescribed initial datum. In order to answer this question further properties of solutions such as energy and charge conservation or decay rates must be taken into account. An important issue is, whether - if necessary under additional hypotheses or by weakening the concept of solution - global solutions, i.e., solutions existing for all t>=0, may be obtained. The most important results are a theorem about local existence and uniqueness of classical solutions of the Vlasov-Poisswell system, a global existence result for weak solutions of the modified Vlasov-Poisswell system, and a global existence theorem for classical solutions of the Vlasov-Darwin system under the assumption of smallness of the initial.

Abstract in weiterer Sprache

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Anfangswertproblemen für drei Systeme nichtlinearer partieller Differentialgleichungen. Die betrachteten Gleichungen sind das Vlasov-Darwin-System, das sogenannten Vlasov-Poisswell-System und eine Variante des letztgenannten Systems (hier modifiziertes Vlasov-Poisswell-System genannt). Die Gleichungen entstammen der kinetischen Theorie, die sich zur Beschreibung von Vielteilchensystemen in verschiedenen physikalischen Kontexten, wie der kinetischen Gastheorie, astronomischen Fragen etwa nach der Herausbildung stellarer Strukturen oder der Plasmaphysik als geeignet erwiesen hat. Die in dieser Arbeit betrachteten Gleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung der Dichte f(t,x,v) (t - Zeit, x - Ort, v - Teilchengeschwindigkeit) eines großen Ensembles geladener Partikel im Orts-Impuls-Raum unter dem Einfluss des von den Teilchen selbst erzeugten elektromagnetischen Feldes und bei Vernachlässigung von Kollisionen. Untersucht wird vor allem die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des Anfangswertproblems. Zur Beantwortung dieser Frage werden weitere Eigenschaften der Lösungen, wie Energie- und Massenerhaltung oder das Abklingverhalten, herangezogen. Von besonderem Interesse ist hierbei, ob - eventuell unter Zusatzvoraussetzungen oder bei Abschwächung des Lösungsbegriffs - die Lösungen global, d.h. für alle Zeiten t >= 0 existieren. Die wichtigsten erzielten Resultate sind ein lokaler Existenz- und Eindeutigkeitssatz für klassische Lösungen des Anfangswertproblems für das Vlasov-Poisswell-System, ein globaler Existenzsatz für schwache Lösungen für das modifizierte Vlasov-Poisswell-System sowie ein globales Existenzresultat für klassische Lösungen des Vlasov-Darwin-Systems bei kleinen Anfangsdaten.