Über eine Erweiterung der Methode von Soshnikov zur Untersuchung des größten Eigenwerts auf unsymmetrische Verteilungen

Titelangaben

Grimme, Felix:
Über eine Erweiterung der Methode von Soshnikov zur Untersuchung des größten Eigenwerts auf unsymmetrische Verteilungen.
Bayreuth , 2013
( Dissertation, 2013 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Seit der Entdeckung des Halbkreisgesetzes durch Wigner werden reell-symmetrische Zufallsmatrix-Ensembles untersucht. Soshnikov hat in einer bahnbrechenden Arbeit gezeigt, dass für Wigner-Ensembles $A_n=(\xi_\ij)_{1\le i\le j\le n}$ mit symmetrisch verteilten Einträgen die Verteilung des größten Eigenwerts in einer geeigneten Skalierung für $n\to\infty$ universelles Verhalten zeigt und schwach gegen die Tracy-Widom-Verteilung, die Verteilung des Gauß'schen orthogonalen Ensembles, konvergiert. Für den Beweis nutzt Soshnikov die Momentenmethode. Hierbei wird die Analyse der Verteilungsfunktion des größten Eigenwerts auf die Analyse von Erwartungswerten von Spuren hoher Matrixpotenzen zurückgeführt (die Exponenten wachsen mit $n^{2/3}$). Die Spuren werden via $\tr A_n^{p_n}=\sum_{(i_0,\ldots,i_{p-1})\in[n]^p}\xi_{i_0,i_1}\xi_{i_1,i_2}\ldots\xi_{i_{p-1},i_0}$ als Summe über geschlossene Pfade kombinatorisch interpretiert. In der Analyse gilt es herauszufinden, welche Klassen von Pfaden (die mit den Momenten der Matrixeinträge in Verbindung stehen) die Spuren in der Asymptotik $n\to\infty$ dominieren. Es stellt sich heraus das dies Pfade sind, die jede ihrer Kanten genau zweimal durchlaufen. Das bedeutet, dass die Spuren asymptotisch nur von den für alle Matrixeinträge gleichen zweiten Momenten abhängen, sie sind also asymptotisch für alle betrachteten Ensembles universell. Diese Methode wird in der vorliegenden Arbeit auf Wigner-Ensembles mit nicht notwendig symmetrischen Verteilungen der Einträge erweitert. Die Kombinatorik ist in diesem Fall komplexer. Resultat der Arbeit ist, dass die Methode von Soshnikov funktioniert, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: die ersten und dritten Momente der Einträge sind~0 für die 97.\ Momente existiert eine in~$n$ gleichmäßige Schranke.

Abstract in weiterer Sprache

Since Wigner's discovery of the semi-circle law real symmetric matrix ensembles have been studied extensively. In his groundbreaking work, Soshnikov proved that in the limit $n\to\infty$ the distribution of the largest eigenvalue of Wigner-Ensembles $A_n=(\xi_\ij)_{1\le i\le j\le n}$ with symmetrically distributed entries follows an universal distribution and converges weakly to the Tracy-Widom distribution, that has first been established in the classical case of the Gaussian Orthogonal Ensemble. Soshnikov's proof uses and extends significantly the moment method. The key idea is to connect the distribution of the largest eigenvalue to the behaviour of the expectations of traces of large powers of the matrices (the exponents grow of order $n^{2/3}$). Through $\tr A_n^{p_n}=\sum_{(i_0,\ldots,i_{p-1})\in[n]^p}\xi_{i_0,i_1}\xi_{i_1,i_2}\ldots\xi_{i_{p-1},i_0}$ the traces can be interpreted combinatorically as sums indexed by closed paths. The key issue in the analysis is to identify which paths contribute asymptotically to the trace. Here the moments of the matrix entries play a crucial role. As it turns out the leading contribution is given by those paths in which every edge occurs exactly twice. This implies that asymptotically the traces only depend on the second moments of the matrix entries. In a nutshell this explains universality. The main goal of this work is to extend the method described above to the case of non-symmetrically distributed matrix entries that leads to more involved combinatorics. The main result is that the method and results of Soshnikov hold true in this case, if the following two conditions hold: the first and third moments of the matrix entries vanish the 97th moments of the entries are bounded uniformly