Pattern Formation in Rotating Fluid Systems under the Influence of Magnetic Fields

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Kurt, Erol:
Pattern Formation in Rotating Fluid Systems under the Influence of Magnetic Fields.
Bayreuth , 2004
( Dissertation, 2004 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Patterns are observed in many different systems in nature. They are seen in the cloud streets, in sand ripples, in the morphology of plants and animals, on weather maps, in chemical reactions. In all these cases one deals with open, continuous dissipative systems which are driven out of equilibrium by an external stress. If this stress is larger than a certain threshold value, the symmetry of the temporally and spatially homogeneous ground state is spontaneously broken. The resulting patterns show then periodicity in space and/or in time. One of the best studied examples is the convection instability when a fluid layer is subjected to a temperature gradient. For instance, in a horizontal fluid layer heated from below and cooled from above a striped patterns of convection rolls develop. This scenario describes the famous Rayleigh- Benard convection (RBC), as a standard paradigm of pattern formation. Many concepts and mathematical tools to analyze the patterns have been developed and tested for this case. This thesis deals with two different pattern forming systems, namely a particular example of a convection instability and the case of a shear flow driven instability. In the first part of the thesis, a variation of the standard RBC is investigated. We consider the problem of convection induced by radial buoyancy in an electrically conducting fluid contained in a rotating (angular frequency, Omega) cylindrical annulus which is cooled at the inner surface and heated from outside. In addition, an azimuthal magnetic field (B) is applied for instance by an electrical current through the cylinder axis. The motivation of this study has come originally from the geophysical context. This setup is hoped to capture some important features of convection patterns in rotating stars and planets near the equatorial regions. The problem is also of considerable interest from a more general point of view in that it is concerned with formations of patterns in the presence of two competing directional effects, in this case rotation and the magnetic field. The second part of the thesis is devoted to the the pattern formation by a shear flow between two rotating and infinitely electrically conducting plates with a magnetic field perpendicular to the plates. This geometry is called the magnetic Ekman-Couette layer and has been a basic model for magnetic activities at the boundary of the Earth's liquid core or at the tachocline in the Sun below the convection zone for a few decades. To analyze the forementioned problems, various codes and computational tools had to be developed, for instance, we were able to describe complex spatio-temporal patterns by the direct simulations of the underlying hydrodynamic equations for our problems. The discussion of the physical details of the systems are postponed to the introductory sections of the corresponding parts of the thesis. In Chapter 1, a general formulation of the linear and nonlinear analysis, methods, which are applicable to both pattern forming systems in this work will be presented. The investigation of thermal convection in a plane layer which is a geometry equivalent to the cylindrical annulus will be discussed in Chapter 2. The next chapter (Chapter 3) covers both the linear and nonlinear analyses in the case of magnetic Ekman-Couette layer problem. Finally, in Chapter 4, we will present the general conclusions on both of the systems.

Abstract in weiterer Sprache

In dieser Arbeit werden Musterbildungsphaenomene in zwei unterschiedlichen, rotierenden, elektrisch leitenden Fluessigkeitssystemen unter dem Einfluss eines Magnetfeldes untersucht. Es handelt sich einmal um den sog. rotierenden Annulus, der z.B. Konvektionsstrukturen im aequatorialen Bereich von rotierenden Himmelskoerpern modelliert. In dem zweiten Beispiel geht es um Scherstroemungsinstabilitaeten, wenn einer Fluidschicht von aussen ein Geschwindigkeitsgradient aufgepraegt wird. Neben vielen technischen Anwendungen (Turbinen) wird diese Situation auch ueber den Wind, der an der Wasseroberflaeche der Ozeane angreift, realisiert. Die Konkurrenz zwischen Corioliskraeften, Auftriebs- bzw. Scherkraeften und besonders den magnetischen Kraeften, die bisher in der Literatur fuer diese beiden Systeme praktisch nicht betrachtet wurden, fuehrt zu reizvollen komplexen Musterbildungsphaenomenen. Beide Systeme werden durch gekoppelte, nichtlineare partielle Differentialgleichungen beschrieben. Die mathematischen Standardmethoden zur ihrer Analyse werden in Kapitel 1 besprochen. Der Einsatz der musterbildenden Instabilitaeten als Funktion der verschiedenen aeusseren Kontrollparameter ist im Rahmen einer linearen Stabilitaetsanalyse zu charakterisieren. Im schwach-nichtlinearen Bereich werden die resultierenden Muster mit Hilfe von sog. Ordnungsparametergleichungen, deren Herleitung leicht verallgemeinert wurde, beschrieben. Im voll nichtlinearer Bereich sind dann die Grundgleichungen numerisch exakt zu loesen, wobei wir verschiedene Galerkinmethoden verwenden. Unter dem ``rotierenden Annulus'' (Kapital 2) verstehen wir eine von innen gekuehlte Fluidschicht im Mantelbereich eines rotierenden Zylinders unter dem Einfluss eines azimuthalen Magnetfeldes. Neben der Rayleighzahl R als Mass fuer den angelegten Temperaturgradienten und der Prandtlzahl P (das Verhaeltnis von Dissipation durch Stroemung und durch Waermeleitung), spielen die Rotationsfrequenz (parametrisiert durch die dimensionslose Corioliszahl tau) und die Staerke des angelegten Magnetfeldes (beschrieben durch die dimensionslose magnetische Feldenergie Q) eine wichtige Rolle. Ausgehend von einer ausfuehrlichen Analyze des linearen Bereichs wird der nichtlineare Bereich untersucht, in den man experimentell z.B. durch Vergroesserung Rvorstoesst. Von besonderem Interesse waren die sog. Knoten- und Hexaroll Muster, bei denen sich entlang der Rollenachse kurzwellige Modulationen ausbilden. Im Falle grosser Prandtlzahlen P konnte Multistabilitaet der Muster nachgewiesen werden, d.h. verschiedenartige Rollenmuster stehen in Konkurrenz. Neben raeumlich periodischen Mustern koennen sich bei gleichen aeusseren Parametern solche mit komplexer raum-zeitlicher Dynamik ausbilden, die sogar oft einen groesseren Einzugsbereich haben. Der Fall kleiner P erwies sich als noch komplizierter, da viele Bifurkationen subkritisch waren. Im Kapitel 3 wurde das magnetische Ekman-Couette Problem untersucht. Eine Fluidschicht befindet sich zwischen zwei Platten, die in entgegengesetzter Richtung mit konstanter Geschwindigkeit (parametrisiert durch die dimensionslose Reynoldszahl Re) bewegt werden. Die Anordung wird um eine Achse senkrecht zu den Platten rotiert, das Magnetfeld zeigt in die gleiche Richtung. Es bildet sich im Grundzustand ein Geschwindigkeitsgradient senkrecht zu den Platten aus. Ohne Rotation der gesamten Anordnung ergibt sich so eine einfache Couettestroemung. Sie ist linear stabil fuer beliebige Re. Bei endlichem tau bilden sich jedoch eine Grenzschicht an den Platten aus, in der sich der Geschwindigkeitsgardient konzentriert (``Ekman Layer''); er liegt dann in einer Ebene, die nicht parallel zur Zugrichtung der Platten ist. Die Grenzschichten werden linear instabil gegen Rollenstrukturen, die stationaer sein koennen aber auch wie eine ebenen Welle laufen koennen. Es werden wieder die im Kapitel 1 beschrieben Methoden angewendet, wobei die Existenz einer Stroemung schon im Grundzustand die Rechnungen deutlich komplizierter macht. Abgesehen von der Berucksichtigung des endlichen Magnetfeldes wurden schon bekannte lineare und nichtlineare Analysen fuer Q = 0 deutlich erweitert durch Verbesserung der numerischen Techniken. Besonderes Augenmerk wurde auf die zwei unterschiedlichen Typen (I/II) von laufenden Wellen gelegt, die sich sowohl in ihrer Ausbreitungsrichtung als auch ihre Frequenz unterscheiden. Spektakulaere Auswirkungen eines endlichen Magnetfeldes wurden allerdings nicht endeckt. Es wirkt generell stabilisierend und fuehrt eher zu quantitativen Verschiebung von Stabilitaetsgrenzen. Es besteht einige Hoffnung, dass in der naechster Zeit Experimente in Angriff genommen werden, mit denen sich unsere Ergebnisse direkt vergleichen lassen. Mit den in dieser Arbeit entwickelten Codes stehen alle theoretischen Hilsmiitel zu ihrer Analyse bereit.