Derived categories of coherent sheaves on rational homogeneous manifolds

Titelangaben

Böhning, Christian:
Derived categories of coherent sheaves on rational homogeneous manifolds.
Bayreuth , 2005
( Dissertation, 2005 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Abstract. One way to reformulate the celebrated theorem of Beilinson is that $(\mathcal{O}(-n),\dots , \mathcal{O})$ and $(\Omega^n(n), \dots , \Omega^1 (1), \mathcal{O})$ are strong complete exceptional sequences in $D^b(Coh\,\mathbb{P}^n)$, the bounded derived category of coherent sheaves on $\mathbb{P}^n$. In a series of papers M. M. Kapranov generalized this result to flag manifolds of type $A_n$ and quadrics. In another direction, Y. Kawamata has recently proven existence of complete exceptional sequences on toric varieties. Starting point of the present work is a conjecture of F. Catanese which says that on every rational homogeneous manifold $X=G/P$, where $G$ is a connected complex semisimple Lie group and $P\subset G$ a parabolic subgroup, there should exist a complete strong exceptional poset and a bijection of the elements of the poset with the Schubert varieties in $X$ such that the partial order on the poset is the order induced by the Bruhat-Chevalley order. An answer to this question would also be of interest with regard to a conjecture of B. Dubrovin which has its source in considerations concerning a hypothetical mirror partner of a projective variety $Y$: There is a complete exceptional sequence in $D^b(Coh\, Y)$ if and only if the quantum cohomology of $Y$ is generically semisimple (the complete form of the conjecture also makes a prediction about the Gram matrix of such a collection). A proof of this conjecture would also support M. Kontsevich's homological mirror conjecture, one of the most important open problems in applications of complex geometry to physics today. The goal of this work will be to provide further evidence for F. Catanese's conjecture, to clarify some aspects of it and to supply new techniques. In section 2 it is shown among other things that the length of every complete exceptional sequence on $X$ must be the number of Schubert varieties in $X$ and that one can find a complete exceptional sequence on the product of two varieties once one knows such sequences on the single factors, both of which follow from known methods developed by Rudakov, Gorodentsev, Bondal et al. Thus one reduces the problem to the case $X=G/P$ with $G$ simple. Furthermore it is shown that the conjecture holds true for the sequences given by Kapranov for Grassmannians and quadrics. One computes the matrix of the bilinear form on the Grothendieck $K$-group $K_{\circ}(X)$ given by the Euler characteristic with respect to the basis formed by the classes of structure sheaves of Schubert varieties in $X$; this matrix is conjugate to the Gram matrix of a complete exceptional sequence. Section 3 contains a proof of theorem 3.2.7 which gives complete exceptional sequences on quadric bundles over base manifolds on which such sequences are known. This enlarges substantially the class of varieties (in particular rational homogeneous manifolds) on which those sequences are known to exist. In the remainder of section 3 we consider varieties of isotropic flags in a symplectic resp. orthogonal vector space. By a theorem due to Orlov (thm. 3.1.5) one reduces the problem of finding complete exceptional sequences on them to the case of isotropic Grassmannians. For these, theorem 3.3.3 gives generators of the derived category which are homogeneous vector bundles; in special cases those can be used to construct complete exceptional collections. In subsection 3.4 it is shown how one can extend the preceding method to the orthogonal case with the help of theorem 3.2.7. In particular we prove theorem 3.4.1 which gives a generating set for the derived category of coherent sheaves on the Grassmannian of isotropic 3-planes in a 7-dimensional orthogonal vector space. Section 4 is dedicated to providing the geometric motivation of Catanese's conjecture and it contains an alternative approach to the construction of complete exceptional sequences on rational homogeneous manifolds which is based on a theorem of M. Brion (thm. 4.1.1) and cellular resolutions of monomial ideals a la Bayer/Sturmfels. We give a new proof of the theorem of Beilinson on $\mathbb{P}^n$ in order to show that this approach might work in general. We also prove theorem 4.2.5 which gives a concrete description of certain functors that have to be investigated in this approach.

Abstract in weiterer Sprache

Zusammenfassung. Eine Art, den berühmten Satz von Beilinson zu formulieren, ist die folgende: $(\mathcal{O}(-n),\dots , \mathcal{O})$ und $(\Omega^n(n), \dots , \Omega^1 (1), \mathcal{O})$ stellen vollständige (starke) exzeptionelle Folgen in $D^b(Coh\,\mathbb{P}^n)$, der beschränkten derivierten Kategorie kohärenter Garben auf dem $\mathbb{P}^n$, dar. M. M. Kapranov verallgemeinerte dieses Ergebnis in einer Reihe von Arbeiten auf Fahnenmannigfaltigkeiten vom Typ A_n und Quadriken. In einer anderen Richtung hat Y. Kawamata kürzlich die Existenz vollständiger exzeptioneller Folgen für torische Varietäten bewiesen. Ausgangspunkt der vorliegenden Arbeit ist eine Vermutung von F. Catanese, die besagt, daß auf jeder rational-homogenen Mannigfaltigkeit X=G/P, wobei G eine zusammenhängende halbeinfache komplexe Liegruppe und $P\subset G$ eine parabolische Untergruppe bezeichnet, eine vollständige starke exzeptionelle partiell geordnete Menge und eine Bijektion zwischen den Elementen dieser Menge und den Schubertvarietäten in X existieren sollte, so daß die partielle Ordnung gerade die von der Bruhat-Chevalley Ordnung induzierte ist. Eine Antwort hierauf ist auch von Interesse in Hinsicht auf eine Vermutung von B. Dubrovin, deren Motivation aus Betrachtung eines hypothetischen Spiegelpartners einer projektiven Varietät Y entspringt: Es gibt eine vollständige exzeptionelle Folge in $D^b(Coh\, Y)$ dann und nur dann, wenn die Quantenkohomologie von $Y$ generisch halbeinfach ist (die vollständige Form der Vermutung macht auch eine Aussage über die Form der Grammatrix einer solchen Folge). Ein Beweis dieser Vermutung würde auch weiteren Rückhalt für die Richtigkeit von M. Kontsevichs homologischer Spiegelvermutung geben, die heutzutage eines der wichtigsten offenen Probleme in den Anwendungen der komplexen Geometrie auf die Physik darstellt. Ziel dieser Arbeit soll es sein, weitere Belege für die oben genannte Vermutung von F. Catanese zu liefern, einige ihrer Aspekte zu klären und neue Techniken bereitzustellen. In Abschnitt 2 wird unter anderem gezeigt, daß die Länge jeder vollständigen exzeptionellen Folge auf $X$ die Anzahl der Schubertvarietäten in $X$ sein muß und daß man auf dem Produkt zweier Varietäten eine vollständige exzeptionelle Folge angeben kann, sobald man solche Folgen für die Faktoren kennt, was beides unmittelbar aus bekannten Methoden von Rudakov, Gorodentsev, Bondal u.a. folgt. Damit reduziert man das Problem auf $X=G/P$ mit $G$ einfach. Es wird außerdem gezeigt, daß die Vermutung für die von Kapranov für Grassmannsche Mannigfaltigkeiten und Quadriken angegebenen Folgen richtig ist. Es wird die Matrix der durch die Eulercharakteristik gegebenen Bilinearform auf der Grothendieckschen $K$-Gruppe $K_{\circ}(X)$ in der Basis der Klassen der Strukturgarben von Schubertvarietäten in $X$ berechnet, die zu der Grammatrix einer vollständigen exzeptionellen Folge konjugiert ist. In Abschnitt 3 wird der Satz 3.2.7 bewiesen, der vollständige exzeptionelle Folgen auf Quadrikenbündeln über solchen Basismannigfaltigkeiten liefert, auf denen man vollständige exzeptionelle Folgen bereits kennt. Damit wird die Klasse von Varietäten (insbesondere rational-homogenen Mannigfaltigkeiten), auf denen man solche Folgen kennt, wesentlich erweitert. Im Rest des Abschnitts 3 werden Varietäten isotroper Fahnen in einem symplektischen bzw. orthogonalen Vektorraum betrachtet. Das Problem, auf diesen vollständige exzeptionelle Folgen zu konstruieren, reduziert sich mit einem Satz von Orlov (Satz 3.1.5) auf isotrope Grassmannsche. Satz 3.3.3 gibt für letztere im symplektischen Fall Erzeugendensysteme der derivierten Kategorie an, die aus homogenen Vektorbündeln bestehen und aus denen man in Spezialfällen vollständige exzeptionelle Folgen konstruieren kann. Im Unterabschnitt 3.4 wird gezeigt, wie sich die Methode unter Benutzung von Satz 3.2.7 auf den orthogonalen Fall ausdehnen läßt. Insbesondere wird Satz 3.4.1 bewiesen, der ein Erzeugendensystem für die derivierte Kategorie kohärenter Garben auf der Grassmannschen der dreidimensionalen isotropen Unterräume in einem 7-dimensionalen orthogonalen Vektorraum liefert. Abschnitt 4 ist der geometrischen Motivation für Cataneses Vermutung gewidmet und enthält einen alternativen Zugang zur Konstruktion vollständiger exzeptioneller Folgen auf rational-homogenen Mannigfaltigkeiten, der auf einem Satz von M. Brion (Satz 4.1.1) und zellulären Auflösungen von Monomidealen a la Bayer/Sturmfels basiert. Es wird ein neuer Beweis für den Satz von Beilinson auf dem $\mathbb{P}^n$ gegeben, um zu zeigen, daß dieser Zugang im allgemeinen Fall funktionieren könnte. Überdies wird Satz 4.2.5 bewiesen, der eine konkrete Beschreibung gewisser Funktoren liefert, die bei diesem Ansatz studiert werden müssen.