A note on Erdös-Diophantine graphs and Diophantine carpets

Titelangaben

Kohnert, Axel ; Kurz, Sascha:
A note on Erdös-Diophantine graphs and Diophantine carpets.
Bayreuth , 2005

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Abstract

A Diophantine figure is a set of points on the integer grid $\mathbb{Z}^{2}$ where all mutual Euclidean distances are integers. We also speak of Diophantine graphs. The vertices are points in $\mathbb{Z}^{2}$ (the coordinates)and the edges are labeled with the distance between the two adjacent vertices, which is integral. In this language a Diophantine figure is a complete Diophantine graph. Two Diophantine graphs are equivalent if they only differ by translation or rotation of vertices. Due to a famous theorem of Erdös and Anning there are complete Diophantine graphs which are not contained in larger ones. We call them Erdös-Diophantine graphs. A special class of Diophantine graphs are Diophantine carpets. These are planar triangulations of a subset of the integer grid. We give an effective construction for Erdös-Diophantine graphs and characterize the chromatic number of Diophantine carpets.

Abstract in weiterer Sprache

Eine Diophantsche Figur ist eine Menge von Punkten auf dem ganzzahligen Gitter $\mathbb{Z}^{2}$ mit paarweise ganzzahligen Abständen. Wir sprechen auch von Diophantschen Graphen. Die Knoten sind hierbei die Punkte aus $\mathbb{Z}^{2}$ und die Kanten sind mit den (ganzzahligen) euklidischen Abständen beschriftet. In dieser Sprache ist eine Diophantsche Figur ein vollständiger Diophantscher Graph. Aufgrund eines berühmten Satzes von Erdös und Anning gibt es vollständige Diophantsche Graphen, die nicht in größeren enthalten sind. Diese nennen wir Erdös-Diophantsche Graphen. Eine spezielle Klasse Diophantscher Graphen sind Diophantsche Teppiche. Dies sind planare Triangulierungen einer Teilmenge des ganzzahligen Gitters $\mathbb{Z}^{2}$. Wir beschreiben einen eefektiven Konstruktionsalgorithmus für Erdös-Diophantsche Graphen und klassifizieren die Diophantschen Teppiche nach ihrer chromatischen Zahl.