Inexact Proximal Newton Methods for Finite Strain Plasticity

Titelangaben

Pötzl, Bastian:
Inexact Proximal Newton Methods for Finite Strain Plasticity.
Bayreuth , 2023 . - X, 215 S.
( Dissertation, 2023 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

The energetic formulation of finite strain plasticity is an instance of the general theory of rate-independent systems. It can be understood as a direct generalization of the primal formulation of small strain plasticity where the unknowns are the displacements, plastic strains, and possibly hardening variables. In particular, the notion of energetic solutions does not involve derivatives which allows for modeling non-smooth phenomena in an elegant way. Furthermore, energetic solutions can be characterized as the limits of piecewise constant interpolants of solutions to time-incremental minimization problems which makes the corresponding formulation amenable to optimization algorithms. However, various difficulties are present in the time-incremental minimization problems: They are highly non-linear, non-convex, and non-smooth. The development of adequate solution algorithms is the goal of the present treatise. After the particular problem structure is presented both in the general framework of rate-independent systems and in the concrete formulation of finite strain plasticity, the algorithmic idea of Proximal Newton methods for composite minimization problems is introduced as considered in the literature for finite dimensional optimization. Since existing formulations do not allow for the treatment of function space problems like finite strain plasticity, algorithmic concepts and convergence theory are adapted to a sufficiently general Hilbert space scenario. While the framework of differentiability is loosened by developing a formulation which adequately uses both known and novel concepts of semi-smoothness, restrictive convexity assumptions on the composite objective functional are eliminated by quadratic norm regularization in the update step computation subproblems. Global convergence and local acceleration of the Proximal Newton method are established and numerical robustness close to optimal solutions is ensured by introducing an alternative sufficient decrease criterion for scenarios susceptible to numerical cancellation. Inexact computation of update steps and adaptive strategies for choosing algorithmic parameters further improve the computational efficiency of the algorithm while preserving advantageous convergence properties. In particular, also the corresponding inexactness criteria for update step candidates are designed for efficient evaluation in a function space scenario. The influence of these algorithmic modifications is investigated numerically in a series of function space model problems. Lastly, the final form of the solution algorithm is exposed to a demanding real world application problem from the framework of finite strain plasticity: the deformation of a steel-like paperclip in a binary homotopy problem which consists of loading with forces of different intensity and unloading in order to showcase the irreversible nature of plastic deformations.

Abstract in weiterer Sprache

Energetische Formulierungen der Plastizität endlicher Verzerrungen sind ein Beispiel für die allgemeine Theorie der ratenunabhängigen Systeme. Sie sind als direkte Verallgemeinerung der primalen Formulierung der Plastizität kleiner Verzerrungen zu sehen, bei der die Unbekann- ten als die Verschiebungen, die plastische Dehnung und möglicherweise Verhärtungsvariablen gegeben sind. Insbesondere benutzt der Begriff energetischer Lösungen keine Ableitungen, was die elegante Modellierung nicht-glatter Phänomene ermöglicht. Weiterhin können energetische Lösungen als Grenzwerte stückweise konstanter Interpolan- ten von Lösungen für zeitinkrementelle Minimierungsprobleme charakterisiert werden, wodurch die zugehörige Formulierung zugänglich für Optimierungsalgorithmen wird. Allerdings beinhalten die zeitinkrmentellen Minimierungsprobleme einige Schwierigkeiten: Sie sind hochgradig nicht-linear, nicht-konvex und nicht-glatt. Die Entwicklung entsprechender Lösungsalgorithmen ist das Ziel der vorliegenden Arbeit. Nach dem Erklären der speziellen Problemstruktur sowohl im allgemeinen Rahmen raten- unabhängier Systeme als auch als konkrete Formulierung für die Plastizität endlicher Ver- zerrungen wird die algorithmische Idee von Proximal Newton Methoden aus der Literatur für endlichdimensionale Optimierung vorgestellt. Da bestehende Formulierungen nicht die Behandlung von Funktionenraumproblemen erlauben, werden algorithmische Konzepte und Konvergenztheorie auf ein hinreichend allgemeines Hilbertraumszenario angepasst. Während die Differenzierbarkeitsbedingungen mithilfe sowohl bekannter als auch neuartiger Semiglattheitsbegriffe gelockert werden, hilft eine quadratische Normregularisierung im Subproblem zur Schrittberechnung dabei, restriktive Konvexitätsannahmen an das Zielfunktional zu beseitigen. Globale Konvergenz und lokale Beschleunigung der Proximal Newton Methode werden bewiesen und numerische Robustheit nahe an optimalen Lösungen wird durch das Einführen eines alternativen Abstiegskriteriums für Szenarios, die anfällig für numerische Auslöschung sind, gesichert. Die inexakte Berechnung von Schritten und adaptive Strategien zur Parameterwahl verbes- sern die Effizienz der Berechnungen im Algorithmus noch weiter -- und zwar unter Aufrechterhaltung der vorteilhaften Konvergenzeigenschaften. Insbesondere müssen dabei auch die zugehörigen Inexaktheitskriterien für die effiziente Auswertung im Funktionenraum konzipiert werden. Der Einfluss dieser algorithmischen Modifikationen wird numerisch anhand einer Reihe von Modellproblemen im Funktionenraum untersucht. Zuletzt wird die finale Form des Lösungsalgorithmus auf ein anspruchsvolles und realisti- sches Anwendungsproblem aus dem Bereich der Plastizität endlicher Verzerrungen angewendet: die Deformation einer stahl-ähnlichen Büroklammer in einem binären Homotopieproblem, das aus dem Laden mit verschieden starken Kräften und dem nachfolgenden Entladen besteht, um die irreversible Natur plastischer Verformungen zu demonstrieren.