The Voronoi Cell in a saturated Circle Packing and an elementary proof of Thue´s theorem

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Leppmeier, Max:
The Voronoi Cell in a saturated Circle Packing and an elementary proof of Thue´s theorem.
Bayreuth , 2019 . - 10 S.

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Abstract

The famous Kepler conjecture has a less spectacular, two-dimensional equivalent: The theorem of Thue states that the densest circle packing in the Euclidean plane has a hexagonal structure. A common proof uses Voronoi cells and analyzes their area applying Jensen ́s inequality on convex functions to receive a local estimate which is globally valid. Based on the concept of Voronoi cells, we will introduce a new tessellation into so-called L-triangles which can be related to fundamental parallelograms of lattice circle packings. Therefore a globally disordered circle packing can be reduced to locally ordered configurations: We will show how the theorem of Lagrange on lattice circle packings can be applied to non-lattice circle packings. Thus we receive a new proof of Thue ́s theorem.

Abstract in weiterer Sprache

Die berühmte Kepler-Vermutung hat ein Pendant im Zweidimensionalen: Der Satz von Thue besagt, dass die dichteste Kreispackung in der Euklidischen Ebene eine hexagonale Struktur aufweist. Ein Standardbeweis analysiert die Fläche von Voronoi-Zellen mit Hilfe der Jensen ́schen Ungleichung für konvexe Funktionen. Dies ergibt eine lokale Abschätzung, die global gültig ist. Aufbauend auf dem Begriff der Voronoi-Zelle führen wir eine neue Zerlegung in sog. L- Dreiecke ein, die in Bezug zu Fundamentalparallelogrammen von Kreisgitterpackungen gesetzt werden können. Auf diese Weise kann eine global ungeordnete Kreispackung zurückgeführt werden auf eine lokal geordnete Konfiguration: Es wird gezeigt, wie der Satz von Lagrange über dichteste Kreisgitterpackungen auch auf nicht gitterförmige Kreispackungen angewandt werden kann. Auf diese Weise erhalten wir einen neuen Beweis für den Satz von Thue.