Canonical Surfaces and Hypersurfaces in in Abelian Varieties

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Cesarano, Luca:
Canonical Surfaces and Hypersurfaces in in Abelian Varieties.
2018 . - XIV, 75 S.
( Dissertation, 2018 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

The present work deals with the canonical map of smooth, compact complex surfaces of general type, which induce a polarization of type $(1,2,2)$ on an abelian threefold. The aim of the present study is to provide a geometric description of the canonical map of a smooth surface S of type $(1,2,2)$ in an abelian threefold A in some special situations, and to prove that, when A and S are sufficiently general, the canonical system of S is very ample. It follows, in particular, a proof of the existence of canonical irregular surfaces in P5 with numerical invariants $p_g = 6$, $q = 3$ and $K^2 = 24$. This thesis is organized as follows: The first chapter deals with the basic theoretical results concerning ample divisors on abelian varieties and their canonical map, which can be analytically represented in terms of theta functions (see proposition 1.1.1). In this context, the example of surfaces in a polarization of type $(1,1,2)$ on an Abelian threefold, which has been studied in [14], is of particular importance: the behavior of the canonical map of the pullback of a principal polarization by a degree 2 isogeny has been described in [14] by investigating the canonical image and its defining projective equations by means of homological methods. In the last section of the first chapter, we treat in detail these results, as well as the connection with the analytical representation of the canonical map presented at the beginning of the same chapter. The polarization types $(1,2,2)$ and $(1,1,4)$ cannot be distinguished by considering only the numeric invariants of the ample surfaces in the respective linear systems. In the second chapter, we study the unramified bidouble covers of a smooth non-hyperelliptic curve of genus 3, and we characterize the unramified bidouble covers of a general Jacobian 3-folds, which carry a polarization of type $(1,2,2)$. In the third and last chapter of this thesis we investigate the behaviour of the canonical map of a general smooth surface in a polarization of type $(1,2,2)$ on an abelian threefold A, which is an ́etale quotient of a product of a $(2,2)$-polarized abelian surface with a $(2)$-polarized elliptic curve. With this analysis and with some monodromy arguments, we prove the main result of this thesis, which states that the canonical system of a general smooth surface S of type $(1,2,2)$ in a general abelian threefold A yields a holomorphic embedding in P5.

Abstract in weiterer Sprache

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der kanonischen Abbildung der glatten kompakten komplexen Flächen vom allgemeinen Typ, die eine Polarisierung von Typ (1, 2, 2) auf einer abelschen Dreifaltigkeit induzieren. Eine erste unserer Forschungsarbeit zugrundeliegende Motivation liegt in dem hinlänglich bekannten Existenzproblem von eingebetteten kanonischen Flächen im PN mit vorgegebenen numerischen Invarianten: Fragestellung 0.1. Für welche natürliche Zahlen n existiert eine glatte kanonische Fläche S im P5, so dass KS^2 = n gilt? Ein anderer Aspekt, welcher dem Haupthema dieser Arbeit zusätzliches Interesse verleiht, lässt sich durch folgende Fragestellung formulieren: Fragestellung 0.2. Sei (A, L) eine allgemeine g-dimensionale polarisierte abelsche Varietät, und sei (d1 , · · · ,dg ) der Typ der von L induzierten Polarisierung auf A. Für welche Polarisierungstypen (d1 , · · · dg ) liefert das kanonische System |ωD| eines allgemeinen glatten Divisors D in |L| eine holomorphe Einbettung? Ziel der Arbeit ist, sowohl eine geometrische kontextabhängige Beschreibung der kanonischen Abbildung einer glatten Fläche S vom Typ (1,2,2) in einer 3-dimensionalen abelschen Variet ̈at A zu liefern, als auch durch den Satz 3.5.6 einen Beweis dafür zu erbringen, dass die kanonische Abbildung eine holomorphe Einbettung ist, vorausgesetzt dass A und S allgemein genug angenommen werden. Daraus folgt ein Existenzbeweis von kanonischen irregulären Flächen im P5 mit numerischen Invarianten pg = 6, q = 3 und K 2 = 24. Diese Arbeit ist wie folgt gegliedert: Zunächst befasst sich das erste Kapitel miden theoretischen Grundlagen der ampeln Divisoren auf abelschen Varietäten und deren kanonischer Abbildung, die sich analytisch durch Theta-Funktionen darstellen lässt (Satz 1.1.1). In diesem Zusammenhang ist der Fall einer Fl ̈achin einer (1, 1, 2)-polarisierten 3-dimensionalen abelschen Variet ̈at, welcher in [14] untersucht wird, von besonderer Bedeutung. Dabei wird das Verhalten der kanonischen Abbildung des Rückzugs durch eine Isogenie vom Grad 2 einer Prinzipalpolarisierung beschrieben, indem das jeweilige kanonische Modelund dessen definierende projektive Gleichungen durch homologische Methoden untersucht werden. Im letzten Abschnitt werden sowohl diese Ergebnisse, alauch der Zusammenhang mit der analytischen Darstellung der kanonischen Abbildung genau beleuchtet. Die Polarisierungstypen (1, 2, 2) und (1, 1, 4) lassen sich nicht durch die numerischen Invarianten der ampeln Flächen in dem jeweiligen Linearsystem unterscheiden. Im zweiten Kapitel werden unverzweigte Z22-Uberlagerungen einer glatten nicht-hyperelliptischen Kurve von Geschlecht 3 untersucht. Diese Analyse ermöglicht eine Charakterisierung jener assoziierten jacobischen Überlagerungen, die (1, 2, 2)-polarisierte 3-dimensionale abelsche Varietäten sind. Eine rein analytische, vom Kontext der Geometrie unabhängige Anwendung der bereits genannten Darstellung der kanonischen Abbildung (1.1.1) hat sich allerdings in allen untersuchten Fällen als unmöglich erwiesen, mit Ausnahmen von jenen Fällen, in denen die (1, 2, 2)-polarisierte 3-Mannigfaltigkeit A ein Etales Quotient von einem Produkt einer (2, 2)-polarisierten abelschen Fläche mit einer (2)-polarisierten elliptischen Kurve ist. In diesen Fällen wird das Verhalten der kanonischen Abbildung in den letzten Abschnitten des dritten Kapitels dargestellt. Diese Analyse leistet einen wichtigen Beitrag für den Beweis des oben zitierten Satzes 3.5.6. Abschließend bleibt anzumerken, dass nach unserer Einsch ̈atzung die hier vorgeführten Methoden keine Anwendung im Fall einer Polarisierung von Typ (1, 1, 4) finden. Unter Verwendung der in 0.2 eingeführten Notationen, wobei A und S allgemein genug sind, lässt sich aus der Analyse einer Polarisierung vom Typ (1, 1, 2) in diesem Fall entnehmen, dass die kanonische Abbildung birational ist. In Anbetracht derselben Fragestellung bleiben viele interessante Fälle offen, und daher sind unsere gelieferten Resultate keinesfalls als endgültig aufzufassen. Aus diesem Grund hoffen wir, dass sie zukünftige Arbeiten in diesem Forschurgsbereich anregen können.