Dynamics and statistics of hydrodynamically interacting particles in laminar flows

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Bammert, Jochen:
Dynamics and statistics of hydrodynamically interacting particles in laminar flows.
Bayreuth , 2011
( Dissertation, 2011 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

The subject of this thesis is the investigation of the dynamics and statistics of hydrodynamically interacting particles in low Reynolds number flows, which is discussed in three interrelated themes. The first theme focuses on polymer fractionation. With our basic model we explore the possibility to sort dumbbells with respect to their size using a two dimensional periodic potential. It turns out that the purely diffusive behavior of a dumbbell in this structured landscape is dominated by the ratio of two characteristic length scales, namely the wavelength of the potential l and the size of the dumbbell b. We explain why the diffusion constant in the potential plane shows a pronounced local maximum around l/b equal 3/2. Furthermore, the influence of the spring rigidity and the hydrodynamic interaction on the diffusive motion are examined as well as the dumbbell statistics. If the dumbbell is driven by an external flow through the periodic landscape two different kinds of motion occur: transport along a potential valley and a stair-like motion oblique to the trenches. In the latter case, the dumbbell jumps regularly to a neighboring valley which results in an effective deflection. The onset of the oblique movement as well as the deflection angle beta depend on the hydrodynamic interaction, on the ratio l/b, and on the Brownian motion of the beads. Especially the significant dependence of beta on l/b enables particle sorting. The results are published. The second theme deals with the Brownian dynamics in shear flows. Here, we investigate the correlations of particle fluctuations in order to characterize the direct interplay between thermal motion, hydrodynamic interactions, and non-uniform flows.With respect to the experimental implementation the particles are caught by harmonic potentials. First, we consider one trapped Brownian bead in linear shear and Poiseuille flows. The correlation functions of the particle’s position and velocity fluctuations are calculated analytically. The main result is the occurrence of shear-induced cross-correlations between orthogonal fluctuations in the shear plane which are asymmetric in time. Moreover, the positional probability distribution, P(r), of a single bead in both types of flow is determined. In Poiseuille flow, where no analytical solutions can be obtained, we use perturbation expansions to derive formulas for P(r) that are valuable for the analysis of experimental data. In the case of a linear shear flow, a connection between the static correlations and the distribution functions is derived which allows a consistency check between independent measurements. Considering a system with several Brownian particles it is obvious that hydrodynamic interactions influence the correlations. In order to investigate this effect, we calculate the positional correlation functions for a setup of two trapped Brownian beads which are exposed to a linear shear flow. As expected, the one-particle correlations change compared to the single particle case described above. They depend on the distance between the two beads. In addition, we find inter-particle correlations between orthogonal positional fluctuations of different particles. The structure of these new cross-correlations depends significantly on the relative orientation of the two beads in the shear flow. They can have zero, one, or two local extrema as a function of time. In collaboration with Prof. Wagner from Saarbrücken some of our predictions are already confirmed by experiments, where polystyrene beads are caught by optical traps and simultaneously exposed to linear shear flows in a special microfluidic device. The results are published and further investigations are in progress.The third theme concentrates on the rheology of colloidal suspensions. Our deterministic model system consists of Hookean dumbbells suspended in a confined Newtonian fluid under constant shear. We perform a numerical study using fluid particle dynamics simulations, where the effective viscosity of the suspension, eta, and the dumbbell statistics are determined. The investigations on the tumbling motion of a single dumbbell reveals that eta is influenced by three different contributions: the volume fraction occupied by the dumbbell, the hydrodynamic interaction between the beads, and elastic correlation effects. For a suspension of independent spheres we observe in our simulations that the viscosity, as a function of the volume fraction Phi, differs from the prediction of Einstein, Batchelor and Green if Phi becomes larger than 8%. Replacing the beads by dumbbells leads to an increase of eta , which depends significantly on the length of the springs connecting the two beads. The distribution function for the orientation angle of the dumbbells indicates the complex motion of the individual objects in the suspension, which may lead to the so-called elastic turbulence, as experimentally discovered by Groisman and Steinberg.

Abstract in weiterer Sprache

Der Schwerpunkt der vorliegenden Dissertation ist die Untersuchung der Dynamik und Statistik von hydrodynamisch wechselwirkenden Teilchen in Strömungen mit kleiner Reynolds Zahl. Diese Arbeit umfasst drei miteinander verknüpfte Projekte. Das erste Projekt beschäftigt sich mit der Fraktionierung von Polymeren. Im Rahmen eines einfachen Modells wird die Möglichkeit untersucht, wie man Hanteln in einem zweidimensionalen, periodischen Potential ihrer Größe nach sortieren kann. In einem solchen System gibt es zwei charakteristischen Längenskalen: Die Hantellänge b und die Wellenlänge des Potentials l. Ihr Verhältnis zueinander bestimmt maßgeblich das diffusive Verhalten der Hantel in der Potentialebene. Die Diffusionskonstante als Funktion von l/b hat im Bereich l/b gleich 3/2 ein lokales Maximum. Des Weiteren wird neben der Hantelstatistik auch der Einfluß der Federsteifigkeit und der hydrodynamischen Wechselwirkung auf die Diffusion untersucht. Falls die Hantel mittels einer Strömung durch das Potential gezogen wird, ergeben sich je nach Parameterwahl zwei verschiedene Transportmuster: Die Hantel bewegt sich entweder geradlinig entlang eines Potentialtals oder sie springt regelmäßig von einer Rinne zur nächsten. Im zweiten Fall entsteht eine stufenartige Trajektorie mit einem mittleren Ablenkwinkel beta. Sowohl der Übergang zwischen den beiden Bewegungsmustern als auch beta hängen von der hydrodynamischen Wechselwirkung, dem Verhältnis l/b und der Amplitude der thermischen Fluktuationen ab. Besonders die Abhängigkeit des Ablenkwinkels vom relativen Längenverhältnis ermöglicht die Fraktionierung von Hantelsuspensionen. Die gefundenen Resultate sind bereits veröffentlicht. Im zweiten Projekt geht es um Brownsche Bewegung von kolloidalen Teilchen in Scherströmungen. Die Korrelationen der Teilchenfluktuationen werden untersucht, um das Wechselspiel zwischen thermischer Bewegung, hydrodynamischer Wechselwirkung und Scherflüssen zu charakterisieren. Im Hinblick auf eine experimentelle Realisierung werden die betrachteten Teilchen in harmonischen Potentialen gefangen. Zuerst wird das Verhalten einer Brownschen Kugel in einem linearen Scherfluss und in einem Poiseuille-Fluss untersucht und deren Geschwindigkeits- und Ortskorrelationen analytisch berechnet. Dabei stellt sich heraus, dass eine Scherströmung Kreuzkorrelationen zwischen zueinander senkrechten Teilchenfluktuationen verursacht, die eine zeitliche Asymmetrie aufweisen. Darüber hinaus wird die Aufenthaltswahrscheinlichkeit P(r) des Teilchens in den beiden Strömungstypen bestimmt. Da es im Poiseuille-Fluss keine geschlossene Lösung für P(r) gibt, wird mit Hilfe einer Störungsrechnung eine Näherungslösung hergeleitet, die besonders für experimentelle Ergebnisse von Nutzen ist. Im Falle der linearen Scherströmung wird ein Zusammenhang zwischen den statischen Korrelationen und der Aufenthaltswahrscheinlichkeit hergestellt, der eine Überprüfung der Konsistenz zwischen voneinander unabhängigen Messungen erlaubt. Natürlich beeinflussen die hydrodynamischen Wechselwirkungen zwischen mehreren Brownschen Teilchen deren Korrelationen. Um diesen Effekt zu untersuchen, wurde für ein System aus zwei gefangenen Kugeln in einer linearen Scherströmung die Korrelationsfunktionen der Teilchenfluktuationen berechnet. Die Einteilchenkorrelationen hängen wie erwartet vom Kugelabstand ab. Des Weiteren sind zueinander senkrechte Fluktuationen von verschiedenen Teilchen miteinander korreliert. Diese Zweiteilchenkorrelationen haben je nach Kugelkonfiguration ein, zwei oder drei lokale Extrema als Funktion der Zeit. Einige unserer vorhergesagten Ergebnisse wurden bereits in der Gruppe von C. Wagner experimentell bestätigt. In einer speziellen Versuchsanordnung, die einen linearen Scherfluss erzeugt, wurden dabei eine oder zwei Polystyrol-Kugeln in optischen Fallen gefangen und deren Fluktuationen gemessen. Unsere Ergebnisse wurden bereits veröffentlicht und weitere Untersuchungen werden folgen. Das dritte Projekt beschäftigt sich mit der Rheologie von kolloidalen Suspensionen. Unser Modellsystem besteht aus Hanteln mit linearen Federn, die in einer Newtonschen Flüssigkeit suspendiert sind. Mit Hilfe der sogenannten Fluid Particle Dynamics Methode wird die effektive Viskosität eta der Suspension und die Hanteldynamik im linearen Scherfluss numerisch untersucht. Anhand der Bewegung einer einzelnen Hantel wird gezeigt, dass eta von drei verschiedenen Beiträgen bestimmt wird: vom Volumenanteil Phi der Hanteln, von der hydrodynamischen Wechselwirkung und von elastischen Korrelationseffekten. Im Falle einer Kugelsuspension weichen unsere Simulationsergebnisse für die effektive Viskosität als Funktion von Phi von der Vorhersage von Einstein, Batchelor und Green ab, sobald Phi größer als 8% wird. Werden zwei Kugel zu einer Hantel verbunden, führt das zu einer signifikanten Erhöhung von eta , die von der Federlänge abhängt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Hantelorientierung weist auf die komplexe Dynamik in diesem Vielteilchensystem hin, die möglicherweise elastische Turbulenz zur Folge hat.