Kernel-based Approximation Methods with Application in Uncertainty Quantification

Titelangaben

Gollwitzer, Lorenz:
Kernel-based Approximation Methods with Application in Uncertainty Quantification.
Bayreuth , 2026 . - VIII, 166 S.
( Dissertation, 2026 , Universität Bayreuth, Bayreuther Graduiertenschule für Mathematik und Naturwissenschaften - BayNAT )

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Abstract

In the thesis "Kernel-based Approximation Methods with Applications in Uncertainty Quantification", we motivate the presented results by a partial differential equation that depends on random inputs, which we will therefore model using a random field. In applications, this random field is usually not known everywhere on the spatial domain and must be replaced by a proper surrogate. We pursue this idea and try to approximate this random field with a pathwise approach using kernel-based approximation techniques. We begin by introducing basic function spaces in combination with tensor products, followed by theoretical foundations concerning approximation theory using kernels and the theory behind random fields. In order to apply the reconstruction methods on realizations of the random field, we study the so-called sample path regularity, which connects regularity assumptions of the covariance function of the random field to the smoothness of its sample paths. Here, a slight generalization of the known theory has been achieved. Afterwards, we use this theory to transfer the deterministic approximation theory to random fields. We show that this approach is well-posed, i.e., we obtain a random field, for which the mean and covariance function can be stated and are themselves good approximations to the corresponding counterparts of the underlying random field. Inside that chapter we assume different settings, depending on the regularity of the covariance function and the paths of the random field. Numerical considerations lead to another approximation scheme, the kernel-based multilevel method. We first introduce the method itself, before we proceed to prove new properties concerning the approximation space of the method and, in particular, a nodal representation. Subsequently, we apply this scheme on the sample paths of a random field, where the nodal representation from before allows us to obtain an explicit representation of the covariance function of the emerging random field. Next, we present two different approaches to generalize the multilevel method on tensor product spaces. We analyze both methods separately, provide convergence results, state similar properties as in the untensorized case for both methods and compare them afterwards. Then all presented methods will be applied to the introductory problem. We first establish well-posedness, i.e., the existence of a unique solution using the surrogate is shown, before we prove that the presented error estimates in the different scenarios lead to good approximations of the true solution as well.

Abstract in weiterer Sprache

In dieser Abhandlung "Kernel-based Approximation Methods with Application in Uncertainty Quantification" (Kernbasierte Approximationsmethoden mit Anwendung in der Quantifizierung von Unsicherheiten) betrachten wir als Motivation eine elliptische partielle Differentialgleichung, welche von zufälligen Eingabeparametern abhängt und mit Hilfe von einem stochastischen Prozess modelliert wird. In den meisten Anwendungen ist dieser Prozess jedoch nicht auf dem ganzen zugrundeliegenden Gebiet bekannt, weshalb dieser durch ein passendes Surrogat ersetzt werden muss. Unser Ziel ist es daher, diesen stochastischen Prozess durch kernbasierte Verfahren pfadweise zu approximieren. Dazu führen wir zunächst die grundlegenden Funktionsräume im Zusammenhang mit Tensorprodukten ein. Danach folgen die wesentlichen Begriffe für kernbasierte Approximationsmethoden sowie die Grundlagen für stochastische Prozesse. Um die Kernmethoden auf die Pfade des Prozesses anwenden zu können, beschäftigen wir uns danach mit der Frage, inwiefern die Regularität der zum Prozess gehörigen Kovarianzfunktion auf die Pfade übertragen werden kann. Hier wurde eine kleine Verallgemeinerung der bisher bekannten Ergebnisse erzielt. Im nächsten Abschnitt wird dann die Wohldefiniertheit des pfadweisen Approximationsansatzes gezeigt. Insbesondere wird dort bewiesen, dass durch diesen Ansatz ebenfalls ein stochastischer Prozess entsteht, dessen Erwartungswert- und Kovarianzfunktion explizit angegeben werden kann und gute Approximationen an die jeweiligen Gegenstücke des ursprünglichen Prozesses sind. Danach übertragen wir die Fehlerabschätzungen des deterministischen Falles auf die vorliegende Situation, wobei wir nach verschiedenen Szenarien, abhängig von der Glätte der Pfade und der Kovarianzfunktion, unterscheiden. Aus Gründen numerischer Stabilität wenden wir uns danach der kernbasierten Multilevelmethode zu, um die Pfade des Prozesses zu rekonstruieren. Zunächst stellen wir das Verfahren vor, bevor wir neue Erkenntnisse bezüglich des Approximationsraumes der Methode und insbesondere einer nodalen Basisdarstellung herleiten. Diese nodale Basisdarstellung wird insbesondere bei der Anwendung der Multilevelmethode auf stochastische Prozesse relevant, da sie uns erlaubt, eine explizite Darstellung für die entstehende Kovarianzfunktion des neuen Prozesses anzugeben. Danach verallgemeinern wir die Multilevelmethode mit dem Tensorprodukt auf zwei verschiedene Arten. Zunächst werden beide Methoden separat analysiert, indem wir für beide Methoden Konvergenzresultate beweisen und ähnliche Eigenschaften wie im untensorierten Verfahren herleiten. Anschließend werden beide Methoden verglichen. Schließlich werden die vorgestellten Methoden auf das einführende Problem angewendet, wobei wir zunächst die Wohldefiniertheit, sprich die Existenz einer Lösung der Differentialgleichung mit dem Surrogat sicherstellen, bevor wir mit Hilfe der vorgestellten Fehlertheorie folgern, dass dadurch auch die Lösung des Problems hinreichend gut angenähert werden kann.