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Kurz, Sascha ; Antonov, Andrey Radoslavov:
Maximal integral point sets over Z^2.
Bayreuth
,
2008
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Abstract
Geometrical objects with integral side lengths have fascinated mathematicians through the ages. We call a set P={p(1),...,p(n)} in Z^2 a maximal integral point set over Z^2 if all pairwise distances are integral and every additional point p(n+1) destroys this property. Here we consider such sets for a given cardinality and with minimum possible diameter. We determine some exact values via exhaustive search and give several constructions for arbitrary cardinalities. Since we cannot guarantee the maximality in these cases we describe an algorithm to prove or disprove the maximality of a given integral point set. We additionally consider restrictions as no three points on a line and no four points on a circle.
Abstract in another language
Geometrische Objekte mit ganzzahligen Seitenlängen haben die Mathematiker seit Jahrhunderten fasziniert. Wir nennen eine Menge P={p(1),...,p(n)} eine maximale ganzzahlige Punktmenge über Z^2, falls alle paarweisen Abstände ganzzahlig sind und jeder zusätzliche Punkt p(n+1) diese Eigenschaft zerstört. In diesem Artikel betrachten wir solche Mengen für gegebene Kardinalität und minimalen Durchmesser. Wir bestimmen ein paar exakte Werte mittels erschöpfender Suche und geben einige Konstruktionen für beliebige Kardinalitäten an. Da wir die Maximalität in unseren Konstruktionen nicht garantieren können, geben wir einen Algorithmus an, mit dem man die Maximalität einer Punktmenge überprüfen kann. Als zusätzliche Restriktionen betrachten wir das Ausschliessen von drei Punkten auf einer Geraden oder vier Punkten auf einem Kreis.
Further data
| Item Type: | Preprint, postprint |
|---|---|
| Additional notes (visible to public): | erschienen in:
In: International Journal of Computer Mathematics. Bd. 87 (2010) Heft 12 . - S. 2653-2676. ISSN 0020-7160 52C10 |
| Keywords: | Abstand; Durchmesser; Kombinatorik; ganzzahlige Abstände; Durchmesser; vollständige Suche; Maximalität; integral distances; diameter; exhaustive search; maximality |
| DDC Subjects: | 500 Science > 510 Mathematics |
| Institutions of the University: | Faculties > Faculty of Mathematics, Physics und Computer Science > Department of Mathematics Faculties > Faculty of Mathematics, Physics und Computer Science > Department of Mathematics > Chair Mathematical Economics Faculties > Faculty of Mathematics, Physics und Computer Science > Department of Mathematics > Chair Mathematical Economics > Chair Mathematical Economics - Univ.-Prof. Dr. Jörg Rambau Faculties Faculties > Faculty of Mathematics, Physics und Computer Science |
| Language: | English |
| Originates at UBT: | Yes |
| URN: | urn:nbn:de:bvb:703-opus-4115 |
| Date Deposited: | 25 Apr 2014 10:51 |
| Last Modified: | 09 Jun 2021 10:19 |
| URI: | https://epub.uni-bayreuth.de/id/eprint/614 |
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