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Kurz, Sascha ; Antonov, Andrey Radoslavov:
Maximal integral point sets over Z^2.
Bayreuth
,
2008
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Abstract
Geometrical objects with integral side lengths have fascinated mathematicians through the ages. We call a set P={p(1),...,p(n)} in Z^2 a maximal integral point set over Z^2 if all pairwise distances are integral and every additional point p(n+1) destroys this property. Here we consider such sets for a given cardinality and with minimum possible diameter. We determine some exact values via exhaustive search and give several constructions for arbitrary cardinalities. Since we cannot guarantee the maximality in these cases we describe an algorithm to prove or disprove the maximality of a given integral point set. We additionally consider restrictions as no three points on a line and no four points on a circle.
Abstract in another language
Geometrische Objekte mit ganzzahligen Seitenlängen haben die Mathematiker seit Jahrhunderten fasziniert. Wir nennen eine Menge P={p(1),...,p(n)} eine maximale ganzzahlige Punktmenge über Z^2, falls alle paarweisen Abstände ganzzahlig sind und jeder zusätzliche Punkt p(n+1) diese Eigenschaft zerstört. In diesem Artikel betrachten wir solche Mengen für gegebene Kardinalität und minimalen Durchmesser. Wir bestimmen ein paar exakte Werte mittels erschöpfender Suche und geben einige Konstruktionen für beliebige Kardinalitäten an. Da wir die Maximalität in unseren Konstruktionen nicht garantieren können, geben wir einen Algorithmus an, mit dem man die Maximalität einer Punktmenge überprüfen kann. Als zusätzliche Restriktionen betrachten wir das Ausschliessen von drei Punkten auf einer Geraden oder vier Punkten auf einem Kreis.
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